Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022220

а) Двойной угол мешает — раскроем его так, чтобы подружиться с $\sin^2 x$ справа: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда слева $\cos x\,(1-2\sin^2 x)=\cos x-2\sin^2 x\cos x$.

Уравнение: $\cos x-2\sin^2 x\cos x=\sqrt{2}\sin^2 x+\cos x$. Слагаемое $\cos x$ есть с обеих сторон — сокращаем его переносом: $-2\sin^2 x\cos x-\sqrt{2}\sin^2 x=0$.

Выносим $-\sin^2 x$: $\sin^2 x\,(2\cos x+\sqrt{2})=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, то есть $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{3\pi}{4}$: $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$, слева $0$; справа $\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$. В четвертях: $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$, $-\pi=-\dfrac{4\pi}{4}$.

Серия $x=\pi k$: подходят $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$ и $-\pi=-\dfrac{4\pi}{4}$ — правый конец включён. Кандидат $-3\pi=-\dfrac{12\pi}{4}$ левее $-\dfrac{10\pi}{4}$, мимо.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{5\pi}{4}$, и $-\dfrac{10\pi}{4}\leqslant-\dfrac{5\pi}{4}\leqslant-\dfrac{4\pi}{4}$ — подходит. При $k=-2$ будет $-\dfrac{13\pi}{4}$ — вылет влево.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: при $k=0$ корень $-\dfrac{3\pi}{4}$ правее $-\pi$, мимо; при $k=-1$ получаем $-\dfrac{11\pi}{4}$ — левее $-\dfrac{10\pi}{4}$, тоже мимо. Пусто.

Итого три корня: $-2\pi$, $-\dfrac{5\pi}{4}$, $-\pi$. Проверка для $-\dfrac{5\pi}{4}$: $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.