а) Соберём косинусы вместе: 2\cos x-2\cos^3 x=\sqrt{3}\sin^2 x. Слева выносим 2\cos x: 2\cos x\,(1-\cos^2 x)=\sqrt{3}\sin^2 x.

А теперь главное наблюдение: 1-\cos^2 x=\sin^2 x. Значит, слева стоит 2\cos x\cdot\sin^2 x, и уравнение принимает вид 2\sin^2 x\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x=0.

Выносим \sin^2 x: \sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt{3})=0.

Первый случай: \sin x=0, то есть x=\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k и x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\pi: слева 2\cdot(-1)-\sqrt{3}\cdot 0=-2, справа 2\cdot(-1)^3=-2 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]. В шестых долях: -\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}, -2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}.

Серия x=\pi k: подходят -3\pi=-\dfrac{18\pi}{6} и -2\pi=-\dfrac{12\pi}{6} — правый конец включён. Кандидат -4\pi=-\dfrac{24\pi}{6} вылетает влево.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{11\pi}{6} — правее -\dfrac{12\pi}{6}, мимо; при k=-2 будет -\dfrac{23\pi}{6} — левее -\dfrac{21\pi}{6}, мимо. Пусто.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{13\pi}{6}, и -\dfrac{21\pi}{6}\leqslant-\dfrac{13\pi}{6}\leqslant-\dfrac{12\pi}{6} — подходит.

Итого три корня: -3\pi, -\dfrac{13\pi}{6}, -2\pi. Проверка для -\dfrac{13\pi}{6}: плюс оборот — это -\dfrac{\pi}{6}, а \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} — корень честный. Всё сходится.