Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022219

а) Соберём косинусы вместе: $2\cos x-2\cos^3 x=\sqrt{3}\sin^2 x$. Слева выносим $2\cos x$: $2\cos x\,(1-\cos^2 x)=\sqrt{3}\sin^2 x$.

А теперь главное наблюдение: $1-\cos^2 x=\sin^2 x$. Значит, слева стоит $2\cos x\cdot\sin^2 x$, и уравнение принимает вид $2\sin^2 x\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x=0$.

Выносим $\sin^2 x$: $\sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt{3})=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, то есть $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\pi$: слева $2\cdot(-1)-\sqrt{3}\cdot 0=-2$, справа $2\cdot(-1)^3=-2$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$. В шестых долях: $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}$, $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$.

Серия $x=\pi k$: подходят $-3\pi=-\dfrac{18\pi}{6}$ и $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$ — правый конец включён. Кандидат $-4\pi=-\dfrac{24\pi}{6}$ вылетает влево.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{11\pi}{6}$ — правее $-\dfrac{12\pi}{6}$, мимо; при $k=-2$ будет $-\dfrac{23\pi}{6}$ — левее $-\dfrac{21\pi}{6}$, мимо. Пусто.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{13\pi}{6}$, и $-\dfrac{21\pi}{6}\leqslant-\dfrac{13\pi}{6}\leqslant-\dfrac{12\pi}{6}$ — подходит.

Итого три корня: $-3\pi$, $-\dfrac{13\pi}{6}$, $-2\pi$. Проверка для $-\dfrac{13\pi}{6}$: плюс оборот — это $-\dfrac{\pi}{6}$, а $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.