а) Приводим всё к косинусу: \sin^2 x=1-\cos^2 x. Уравнение становится 2\cos^3 x+\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos^2 x-2\cos x=0.

Группируем с умом: 2\cos^3 x-2\cos x=2\cos x\,(\cos^2 x-1), а \sqrt{2}-\sqrt{2}\cos^2 x=-\sqrt{2}\,(\cos^2 x-1). Общая скобка найдена!

Выносим её: (\cos^2 x-1)(2\cos x-\sqrt{2})=0.

Первый случай: \cos^2 x=1. Это то же самое, что \sin x=0, то есть все точки x=\pi k, k\in\mathbb{Z} — правая и левая точки круга одной серией.

Второй случай: \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, откуда x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k и x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\pi: слева 2\cdot(-1)^3+\sqrt{2}\cdot 0=-2, справа 2\cdot(-1)=-2 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]. В четвертях: \dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{4}, 4\pi=\dfrac{16\pi}{4}.

Серия x=\pi k: подходит 3\pi=\dfrac{12\pi}{4} и 4\pi=\dfrac{16\pi}{4} — правый конец включён. А вот 2\pi=\dfrac{8\pi}{4} не долетает до \dfrac{10\pi}{4}.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=1 получаем \dfrac{9\pi}{4} — меньше \dfrac{10\pi}{4}, мимо; при k=2 будет \dfrac{17\pi}{4} — больше \dfrac{16\pi}{4}, снова мимо.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=2 получаем \dfrac{15\pi}{4}, и \dfrac{10\pi}{4}\leqslant\dfrac{15\pi}{4}\leqslant\dfrac{16\pi}{4} — подходит.

Итого три корня: 3\pi, \dfrac{15\pi}{4}, 4\pi. Проверка для \dfrac{15\pi}{4}: минус оборот — это -\dfrac{\pi}{4}, а \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} — корень честный. Всё сходится.