Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022218

а) Приводим всё к косинусу: $\sin^2 x=1-\cos^2 x$. Уравнение становится $2\cos^3 x+\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos^2 x-2\cos x=0$.

Группируем с умом: $2\cos^3 x-2\cos x=2\cos x\,(\cos^2 x-1)$, а $\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos^2 x=-\sqrt{2}\,(\cos^2 x-1)$. Общая скобка найдена!

Выносим её: $(\cos^2 x-1)(2\cos x-\sqrt{2})=0$.

Первый случай: $\cos^2 x=1$. Это то же самое, что $\sin x=0$, то есть все точки $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$ — правая и левая точки круга одной серией.

Второй случай: $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\pi$: слева $2\cdot(-1)^3+\sqrt{2}\cdot 0=-2$, справа $2\cdot(-1)=-2$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]$. В четвертях: $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{4}$, $4\pi=\dfrac{16\pi}{4}$.

Серия $x=\pi k$: подходит $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$ и $4\pi=\dfrac{16\pi}{4}$ — правый конец включён. А вот $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$ не долетает до $\dfrac{10\pi}{4}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=1$ получаем $\dfrac{9\pi}{4}$ — меньше $\dfrac{10\pi}{4}$, мимо; при $k=2$ будет $\dfrac{17\pi}{4}$ — больше $\dfrac{16\pi}{4}$, снова мимо.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $\dfrac{15\pi}{4}$, и $\dfrac{10\pi}{4}\leqslant\dfrac{15\pi}{4}\leqslant\dfrac{16\pi}{4}$ — подходит.

Итого три корня: $3\pi$, $\dfrac{15\pi}{4}$, $4\pi$. Проверка для $\dfrac{15\pi}{4}$: минус оборот — это $-\dfrac{\pi}{4}$, а $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.