ID: 00022217
Источник: ФИПИ
а) В уравнении соседствуют синус и косинус — приведём всё к одной функции. Основное тригонометрическое тождество даёт $\cos^2 x=1-\sin^2 x$. Подставляем: $2\sin^3 x=\sqrt{2}-\sqrt{2}\sin^2 x+2\sin x$.
Переносим всё влево: $2\sin^3 x+\sqrt{2}\sin^2 x-2\sin x-\sqrt{2}=0$. Четыре слагаемых — группируем.
Первая пара: $\sin^2 x\,(2\sin x+\sqrt{2})$. Вторая пара: $-(2\sin x+\sqrt{2})$. Общая скобка выносится: $(2\sin x+\sqrt{2})(\sin^2 x-1)=0$.
Первый случай: $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это серии $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.
Второй случай: $\sin^2 x=1$, то есть $\sin x=\pm 1$. Обе точки — верх и низ круга — удобно записать одной серией $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.
Проверим, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$: слева $2\cdot 1=2$, справа $\sqrt{2}\cdot 0+2\cdot 1=2$ — всё сходится.
б) Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$. В четвертях: $-4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}$, $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$.
Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: подходит $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4}$ (при $k=-4$) и $-\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}$ (при $k=-3$) — это правый конец отрезка, он включён. Следующий кандидат $-\dfrac{9\pi}{2}=-\dfrac{18\pi}{4}$ уже левее $-\dfrac{16\pi}{4}$.
Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{9\pi}{4}$ — правее $-\dfrac{10\pi}{4}$, мимо; при $k=-2$ будет $-\dfrac{17\pi}{4}$ — левее $-\dfrac{16\pi}{4}$, тоже мимо.
Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{11\pi}{4}$, и $-\dfrac{16\pi}{4}\leqslant-\dfrac{11\pi}{4}\leqslant-\dfrac{10\pi}{4}$ — подходит.
Итого три корня: $-\dfrac{7\pi}{2}$, $-\dfrac{11\pi}{4}$, $-\dfrac{5\pi}{2}$. Проверка для $-\dfrac{11\pi}{4}$: прибавим оборот $2\pi$ и получим $-\dfrac{3\pi}{4}$, где $\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.