а) В уравнении соседствуют синус и косинус — приведём всё к одной функции. Основное тригонометрическое тождество даёт \cos^2 x=1-\sin^2 x. Подставляем: 2\sin^3 x=\sqrt{2}-\sqrt{2}\sin^2 x+2\sin x.

Переносим всё влево: 2\sin^3 x+\sqrt{2}\sin^2 x-2\sin x-\sqrt{2}=0. Четыре слагаемых — группируем.

Первая пара: \sin^2 x\,(2\sin x+\sqrt{2}). Вторая пара: -(2\sin x+\sqrt{2}). Общая скобка выносится: (2\sin x+\sqrt{2})(\sin^2 x-1)=0.

Первый случай: \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Это серии x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k и x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \sin^2 x=1, то есть \sin x=\pm 1. Обе точки — верх и низ круга — удобно записать одной серией x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим, скажем, x=\dfrac{\pi}{2}: слева 2\cdot 1=2, справа \sqrt{2}\cdot 0+2\cdot 1=2 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]. В четвертях: -4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k: подходит -\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4} (при k=-4) и -\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4} (при k=-3) — это правый конец отрезка, он включён. Следующий кандидат -\dfrac{9\pi}{2}=-\dfrac{18\pi}{4} уже левее -\dfrac{16\pi}{4}.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{9\pi}{4} — правее -\dfrac{10\pi}{4}, мимо; при k=-2 будет -\dfrac{17\pi}{4} — левее -\dfrac{16\pi}{4}, тоже мимо.

Серия x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{11\pi}{4}, и -\dfrac{16\pi}{4}\leqslant-\dfrac{11\pi}{4}\leqslant-\dfrac{10\pi}{4} — подходит.

Итого три корня: -\dfrac{7\pi}{2}, -\dfrac{11\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{2}. Проверка для -\dfrac{11\pi}{4}: прибавим оборот 2\pi и получим -\dfrac{3\pi}{4}, где \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} — корень честный. Всё сходится.