Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022216

а) Четыре слагаемых, и все — степени косинуса. Значит, группируем. Первая пара: $2\cos^3 x-\cos^2 x=\cos^2 x\,(2\cos x-1)$. Вторая пара: $2\cos x-1$ — ровно та же скобка!

Выносим её: $(2\cos x-1)(\cos^2 x+1)=0$.

Скобка $\cos^2 x+1$ всегда не меньше единицы, нулём быть не может — корней мы через неё не потеряем и не приобретём.

Остаётся $2\cos x-1=0$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{2}$. Это две серии: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим подстановкой $\cos x=\dfrac{1}{2}$ в исходное уравнение: $2\cdot\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1-1=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. В шестых долях: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: при $k=1$ получаем $\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{6}$, и $\dfrac{12\pi}{6}\leqslant\dfrac{14\pi}{6}\leqslant\dfrac{21\pi}{6}$ — подходит. При $k=2$ будет $\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{26\pi}{6}$ — перелёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: при $k=1$ получаем $\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{6}$ — не долетели до $\dfrac{12\pi}{6}$. При $k=2$ выходит $\dfrac{11\pi}{3}=\dfrac{22\pi}{6}$ — уже больше $\dfrac{21\pi}{6}$, обидно, но мимо. Из этой серии — никого.

Итого на отрезке единственный корень: $\dfrac{7\pi}{3}$. Проверка: $\dfrac{7\pi}{3}$ — это $\dfrac{\pi}{3}$ плюс полный оборот, $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ — корень настоящий. Всё сходится.