а) Четыре слагаемых, и все — степени косинуса. Значит, группируем. Первая пара: 2\cos^3 x-\cos^2 x=\cos^2 x\,(2\cos x-1). Вторая пара: 2\cos x-1 — ровно та же скобка!

Выносим её: (2\cos x-1)(\cos^2 x+1)=0.

Скобка \cos^2 x+1 всегда не меньше единицы, нулём быть не может — корней мы через неё не потеряем и не приобретём.

Остаётся 2\cos x-1=0, то есть \cos x=\dfrac{1}{2}. Это две серии: x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k и x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим подстановкой \cos x=\dfrac{1}{2} в исходное уравнение: 2\cdot\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1-1=0 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]. В шестых долях: 2\pi=\dfrac{12\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k: при k=1 получаем \dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{6}, и \dfrac{12\pi}{6}\leqslant\dfrac{14\pi}{6}\leqslant\dfrac{21\pi}{6} — подходит. При k=2 будет \dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{26\pi}{6} — перелёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k: при k=1 получаем \dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{6} — не долетели до \dfrac{12\pi}{6}. При k=2 выходит \dfrac{11\pi}{3}=\dfrac{22\pi}{6} — уже больше \dfrac{21\pi}{6}, обидно, но мимо. Из этой серии — никого.

Итого на отрезке единственный корень: \dfrac{7\pi}{3}. Проверка: \dfrac{7\pi}{3} — это \dfrac{\pi}{3} плюс полный оборот, \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} — корень настоящий. Всё сходится.