а) Перед нами четыре слагаемых, где всё выражено через \cos x. Классический ход — группировка. Смотрите: 2\cos^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x=\cos^2 x\,(2\cos x+\sqrt{3}), а 2\cos x+\sqrt{3} — это в точности оставшаяся пара слагаемых.

Выносим общую скобку: (2\cos x+\sqrt{3})(\cos^2 x+1)=0.

Вторая скобка нулём не бывает никогда: \cos^2 x\geqslant 0, значит \cos^2 x+1\geqslant 1. Смело делим на неё — она не отнимет у нас корней.

Остаётся 2\cos x+\sqrt{3}=0, то есть \cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. На круге это две точки: x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k и x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим подстановкой x=\dfrac{5\pi}{6}: \cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, тогда 2\cdot\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\right)+\sqrt{3}\cdot\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=0 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]. В шестых долях: -2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}, -\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{3\pi}{6}.

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k: при k=-1 получаем \dfrac{5\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{6}, и -\dfrac{12\pi}{6}\leqslant-\dfrac{7\pi}{6}\leqslant-\dfrac{3\pi}{6} — подходит. При k=0 корень \dfrac{5\pi}{6} положительный, мимо.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k: при k=0 имеем -\dfrac{5\pi}{6} — он внутри отрезка, подходит. При k=-1 получится -\dfrac{17\pi}{6} — левее -\dfrac{12\pi}{6}, вылетает.

Итого два корня: -\dfrac{7\pi}{6} и -\dfrac{5\pi}{6}. Проверка: \cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} и \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} — оба честные корни. Всё сходится.