Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022215

а) Перед нами четыре слагаемых, где всё выражено через $\cos x$. Классический ход — группировка. Смотрите: $2\cos^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x=\cos^2 x\,(2\cos x+\sqrt{3})$, а $2\cos x+\sqrt{3}$ — это в точности оставшаяся пара слагаемых.

Выносим общую скобку: $(2\cos x+\sqrt{3})(\cos^2 x+1)=0$.

Вторая скобка нулём не бывает никогда: $\cos^2 x\geqslant 0$, значит $\cos^2 x+1\geqslant 1$. Смело делим на неё — она не отнимет у нас корней.

Остаётся $2\cos x+\sqrt{3}=0$, то есть $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. На круге это две точки: $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим подстановкой $x=\dfrac{5\pi}{6}$: $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $2\cdot\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\right)+\sqrt{3}\cdot\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$. В шестых долях: $-2\pi=-\dfrac{12\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{3\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{6}$, и $-\dfrac{12\pi}{6}\leqslant-\dfrac{7\pi}{6}\leqslant-\dfrac{3\pi}{6}$ — подходит. При $k=0$ корень $\dfrac{5\pi}{6}$ положительный, мимо.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$: при $k=0$ имеем $-\dfrac{5\pi}{6}$ — он внутри отрезка, подходит. При $k=-1$ получится $-\dfrac{17\pi}{6}$ — левее $-\dfrac{12\pi}{6}$, вылетает.

Итого два корня: $-\dfrac{7\pi}{6}$ и $-\dfrac{5\pi}{6}$. Проверка: $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — оба честные корни. Всё сходится.