Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022214

а) Первым делом наводим порядок с минусами в аргументах. Синус — нечётная функция, косинус — чётная: $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$. Уравнение превращается в $\sin 2x-2\sin x+\cos x-1=0$.

Теперь раскрываем двойной угол: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем четыре слагаемых: $2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0$.

Четыре слагаемых — это намёк на группировку. Из первой пары выносим $2\sin x$: $2\sin x(\cos x-1)$, а вторая пара $\cos x-1$ — это та же скобка сама по себе. Итого $2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$, то есть $(\cos x-1)(2\sin x+1)=0$.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: $\cos x=1$, отсюда $x=2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Это две серии точек на круге: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим подстановкой, например $x=-\dfrac{\pi}{6}$: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{6}-1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. Чтобы сравнивать было легко, переведём концы в шестые доли: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$.

Серия $x=2\pi k$: при $k=1$ получаем $2\pi$ — это ровно левый конец, он входит в отрезок. При $k=2$ уже $4\pi=\dfrac{24\pi}{6}$ — перелёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$: при $k=2$ выходит $\dfrac{23\pi}{6}$ — это больше $\dfrac{21\pi}{6}$, мимо; при $k=1$ будет $\dfrac{11\pi}{6}$ — меньше $\dfrac{12\pi}{6}$, тоже мимо. Из этой серии никто не попал.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $\dfrac{19\pi}{6}$, и $\dfrac{12\pi}{6}\leqslant\dfrac{19\pi}{6}\leqslant\dfrac{21\pi}{6}$ — попадание. Соседние $k$ выбрасывают за края.

Итого на отрезке два корня: $2\pi$ и $\dfrac{19\pi}{6}$. Проверка: $\dfrac{19\pi}{6}$ — это $\dfrac{7\pi}{6}$ плюс полный оборот, а $\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}$ — действительно наш корень. Всё сходится.