а) Первым делом наводим порядок с минусами в аргументах. Синус — нечётная функция, косинус — чётная: \sin(-x)=-\sin x, \cos(-x)=\cos x. Уравнение превращается в \sin 2x-2\sin x+\cos x-1=0.

Теперь раскрываем двойной угол: \sin 2x=2\sin x\cos x. Получаем четыре слагаемых: 2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.

Четыре слагаемых — это намёк на группировку. Из первой пары выносим 2\sin x: 2\sin x(\cos x-1), а вторая пара \cos x-1 — это та же скобка сама по себе. Итого 2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0, то есть (\cos x-1)(2\sin x+1)=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: \cos x=1, отсюда x=2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \sin x=-\dfrac{1}{2}. Это две серии точек на круге: x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k и x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим подстановкой, например x=-\dfrac{\pi}{6}: \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{6}-1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=0 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]. Чтобы сравнивать было легко, переведём концы в шестые доли: 2\pi=\dfrac{12\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}.

Серия x=2\pi k: при k=1 получаем 2\pi — это ровно левый конец, он входит в отрезок. При k=2 уже 4\pi=\dfrac{24\pi}{6} — перелёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k: при k=2 выходит \dfrac{23\pi}{6} — это больше \dfrac{21\pi}{6}, мимо; при k=1 будет \dfrac{11\pi}{6} — меньше \dfrac{12\pi}{6}, тоже мимо. Из этой серии никто не попал.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k: при k=2 получаем \dfrac{19\pi}{6}, и \dfrac{12\pi}{6}\leqslant\dfrac{19\pi}{6}\leqslant\dfrac{21\pi}{6} — попадание. Соседние k выбрасывают за края.

Итого на отрезке два корня: 2\pi и \dfrac{19\pi}{6}. Проверка: \dfrac{19\pi}{6} — это \dfrac{7\pi}{6} плюс полный оборот, а \sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2} — действительно наш корень. Всё сходится.