а) Убираем минусы в аргументах: синус нечётный, значит -\sin(-x)=\sin x; косинус чётный, значит \cos(-x)=\cos x. Плюс \sin 2x=2\sin x\cos x. Уравнение: 2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.

Четыре слагаемых — отличный кандидат на группировку. Из первой пары выносим \sin x: \sin x(2\cos x+1), вторая пара — это просто (2\cos x+1). Итого: \sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0, то есть (2\cos x+1)(\sin x+1)=0.

Первая скобка: \cos x=-\dfrac{1}{2}, серии x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая: \sin x=-1, серия x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{2\pi}{3}: \sin\dfrac{4\pi}{3}+\sin\dfrac{2\pi}{3}+2\cos\dfrac{2\pi}{3}+1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1+1=0 — всё сходится. И x=-\dfrac{\pi}{2}: \sin(-\pi)-\sin\dfrac{\pi}{2}+2\cos\dfrac{\pi}{2}+1=0-1+0+1=0 — тоже верно.

б) Отбор на отрезке \left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right].

Серия -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n: из \dfrac{3\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi получаем 1\le n\le\dfrac{7}{4} — подходит n=1, корень \dfrac{3\pi}{2} (левый конец отрезка, он включается).

Серия \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{5}{12}\le n\le\dfrac{7}{6} — подходит n=1, корень \dfrac{8\pi}{3}.

Серия -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6} — целых n нет: n=1 даёт \dfrac{4\pi}{3} (до отрезка не дотягивает), n=2 даёт \dfrac{10\pi}{3} (перелёт за 3\pi). Корней нет.

Контроль: \dfrac{3\pi}{2}\le\dfrac{3\pi}{2} и \dfrac{8\pi}{3}=\dfrac{16\pi}{6}\le\dfrac{18\pi}{6}=3\pi — оба корня на отрезке, всё сходится. Итого ровно два корня.