Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022213

а) Убираем минусы в аргументах: синус нечётный, значит $-\sin(-x)=\sin x$; косинус чётный, значит $\cos(-x)=\cos x$. Плюс $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение: $2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0$.

Четыре слагаемых — отличный кандидат на группировку. Из первой пары выносим $\sin x$: $\sin x(2\cos x+1)$, вторая пара — это просто $(2\cos x+1)$. Итого: $\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0$, то есть $(2\cos x+1)(\sin x+1)=0$.

Первая скобка: $\cos x=-\dfrac{1}{2}$, серии $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая: $\sin x=-1$, серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{2\pi}{3}$: $\sin\dfrac{4\pi}{3}+\sin\dfrac{2\pi}{3}+2\cos\dfrac{2\pi}{3}+1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1+1=0$ — всё сходится. И $x=-\dfrac{\pi}{2}$: $\sin(-\pi)-\sin\dfrac{\pi}{2}+2\cos\dfrac{\pi}{2}+1=0-1+0+1=0$ — тоже верно.

б) Отбор на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.

Серия $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: из $\dfrac{3\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le 3\pi$ получаем $1\le n\le\dfrac{7}{4}$ — подходит $n=1$, корень $\dfrac{3\pi}{2}$ (левый конец отрезка, он включается).

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{5}{12}\le n\le\dfrac{7}{6}$ — подходит $n=1$, корень $\dfrac{8\pi}{3}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6}$ — целых $n$ нет: $n=1$ даёт $\dfrac{4\pi}{3}$ (до отрезка не дотягивает), $n=2$ даёт $\dfrac{10\pi}{3}$ (перелёт за $3\pi$). Корней нет.

Контроль: $\dfrac{3\pi}{2}\le\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{8\pi}{3}=\dfrac{16\pi}{6}\le\dfrac{18\pi}{6}=3\pi$ — оба корня на отрезке, всё сходится. Итого ровно два корня.