а) Раскрываем: \sin 2x=2\sin x\cos x, а по формуле приведения \cos(x+\pi)=-\cos x. Уравнение: 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0.

Выносим общий множитель \cos x: \cos x\,(2\sin x-\sqrt{2})=0. Делить на \cos x нельзя — потеряли бы серию корней, поэтому именно выносим.

Первый множитель: \cos x=0, серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z} (у этой серии шаг \pi, потому что нули косинуса идут через каждые полоборота). Второй: \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, серии x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{4}: \sin\dfrac{\pi}{2}+\sqrt{2}\cos\dfrac{5\pi}{4}=1+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0 — всё сходится.

б) Отбор на отрезке \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right].

Серия \dfrac{\pi}{2}+\pi n: из 3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2} получаем \dfrac{5}{2}\le n\le 4 — подходят n=3 и n=4, корни \dfrac{7\pi}{2} и \dfrac{9\pi}{2} (правый конец отрезка включается).

Серия \dfrac{\pi}{4}+2\pi n: \dfrac{11}{8}\le n\le\dfrac{17}{8} — подходит n=2, корень \dfrac{17\pi}{4}.

Серия \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: \dfrac{9}{8}\le n\le\dfrac{15}{8} — целых n нет, корней эта серия не даёт.

Контроль: 3\pi=\dfrac{12\pi}{4}\le\dfrac{14\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}<\dfrac{17\pi}{4}<\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2} — все три корня на отрезке, всё сходится.