Показательны… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022212

а) Раскрываем: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, а по формуле приведения $\cos(x+\pi)=-\cos x$. Уравнение: $2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$.

Выносим общий множитель $\cos x$: $\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2})=0$. Делить на $\cos x$ нельзя — потеряли бы серию корней, поэтому именно выносим.

Первый множитель: $\cos x=0$, серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ (у этой серии шаг $\pi$, потому что нули косинуса идут через каждые полоборота). Второй: $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, серии $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{4}$: $\sin\dfrac{\pi}{2}+\sqrt{2}\cos\dfrac{5\pi}{4}=1+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$ — всё сходится.

б) Отбор на отрезке $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2}$ получаем $\dfrac{5}{2}\le n\le 4$ — подходят $n=3$ и $n=4$, корни $\dfrac{7\pi}{2}$ и $\dfrac{9\pi}{2}$ (правый конец отрезка включается).

Серия $\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{11}{8}\le n\le\dfrac{17}{8}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{17\pi}{4}$.

Серия $\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{9}{8}\le n\le\dfrac{15}{8}$ — целых $n$ нет, корней эта серия не даёт.

Контроль: $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}\le\dfrac{14\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}<\dfrac{17\pi}{4}<\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2}$ — все три корня на отрезке, всё сходится.