Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022211

а) Раскрываем оба слагаемых. Синус двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Формула приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Уравнение превращается в $2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0$.

Выносим общий множитель $\sin x$: $\sin x\,(2\cos x-\sqrt{2})=0$. Важный момент: делить на $\sin x$ нельзя — потеряли бы целую серию корней! Именно поэтому выносим, а не сокращаем.

Первый множитель: $\sin x=0$, серия $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Второй: $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, серии $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{4}$: $\sin\dfrac{\pi}{2}+\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{4}=1+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=1-1=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Серия $\pi n$: из $-4\pi\le\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2}$ получаем $-4\le n\le-2{,}5$ — подходят $n=-4$ и $n=-3$, корни $-4\pi$ и $-3\pi$ (левый конец $-4\pi$ входит в отрезок).

Серия $\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $-\dfrac{17}{8}\le n\le-\dfrac{11}{8}$ — подходит $n=-2$, корень $\dfrac{\pi}{4}-4\pi=-\dfrac{15\pi}{4}$.

Серия $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $-\dfrac{15}{8}\le n\le-\dfrac{9}{8}$ — целых $n$ нет: $n=-1$ даёт $-\dfrac{9\pi}{4}$ (правее отрезка), $n=-2$ даёт $-\dfrac{17\pi}{4}$ (левее). Корней нет.

Контроль: $-4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}\le-\dfrac{15\pi}{4}<-\dfrac{12\pi}{4}=-3\pi\le-\dfrac{10\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{2}$ — все три корня внутри, всё сходится.