а) Раскрываем оба слагаемых. Синус двойного угла: \sin 2x=2\sin x\cos x. Формула приведения: \sin(x+\pi)=-\sin x. Уравнение превращается в 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0.

Выносим общий множитель \sin x: \sin x\,(2\cos x-\sqrt{2})=0. Важный момент: делить на \sin x нельзя — потеряли бы целую серию корней! Именно поэтому выносим, а не сокращаем.

Первый множитель: \sin x=0, серия x=\pi n, n\in\mathbb{Z}. Второй: \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, серии x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{4}: \sin\dfrac{\pi}{2}+\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{4}=1+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=1-1=0 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right].

Серия \pi n: из -4\pi\le\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2} получаем -4\le n\le-2{,}5 — подходят n=-4 и n=-3, корни -4\pi и -3\pi (левый конец -4\pi входит в отрезок).

Серия \dfrac{\pi}{4}+2\pi n: -\dfrac{17}{8}\le n\le-\dfrac{11}{8} — подходит n=-2, корень \dfrac{\pi}{4}-4\pi=-\dfrac{15\pi}{4}.

Серия -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: -\dfrac{15}{8}\le n\le-\dfrac{9}{8} — целых n нет: n=-1 даёт -\dfrac{9\pi}{4} (правее отрезка), n=-2 даёт -\dfrac{17\pi}{4} (левее). Корней нет.

Контроль: -4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}\le-\dfrac{15\pi}{4}<-\dfrac{12\pi}{4}=-3\pi\le-\dfrac{10\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{2} — все три корня внутри, всё сходится.