Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022210

а) Слева узнаём формулу понижения степени: $1-\cos 2x=2\sin^2 x$. Справа приведение: $\sin(x-\pi)=-\sin x$ (сдвиг на $\pi$ меняет знак синуса), поэтому $-2\sin(x-\pi)=2\sin x$. Уравнение: $2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x$.

Переносим всё влево: $2\sin^2 x-2\sin x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0$. Группируем: $2\sin x(\sin x-1)+\sqrt{3}(\sin x-1)=0$, то есть $(\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{3})=0$.

Первая скобка: $\sin x=1$, серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая: $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, серии $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=-\dfrac{\pi}{3}$: слева $1-\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=0$; справа $\sqrt{3}-2\sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right]$ — глубоко в минусах, работаем с $n=-2$.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: из $-5\pi\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le-\dfrac{7\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{11}{4}\le n\le-2$ — подходит $n=-2$, корень $\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2}$ (правый конец отрезка, включается).

Серия $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: $-\dfrac{7}{3}\le n\le-\dfrac{19}{12}$ — подходит $n=-2$, корень $-\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{13\pi}{3}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $-\dfrac{13}{6}\le n\le-\dfrac{17}{12}$ — подходит $n=-2$, корень $-\dfrac{2\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{14\pi}{3}$.

Контроль: $-5\pi=-\dfrac{15\pi}{3}\le-\dfrac{14\pi}{3}<-\dfrac{13\pi}{3}<-\dfrac{10{,}5\pi}{3}=-\dfrac{7\pi}{2}$ — все три корня внутри отрезка, всё сходится.