а) Слева узнаём формулу понижения степени: 1-\cos 2x=2\sin^2 x. Справа приведение: \sin(x-\pi)=-\sin x (сдвиг на \pi меняет знак синуса), поэтому -2\sin(x-\pi)=2\sin x. Уравнение: 2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x.

Переносим всё влево: 2\sin^2 x-2\sin x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0. Группируем: 2\sin x(\sin x-1)+\sqrt{3}(\sin x-1)=0, то есть (\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{3})=0.

Первая скобка: \sin x=1, серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая: \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, серии x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n и x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=-\dfrac{\pi}{3}: слева 1-\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=0; справа \sqrt{3}-2\sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right] — глубоко в минусах, работаем с n=-2.

Серия \dfrac{\pi}{2}+2\pi n: из -5\pi\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le-\dfrac{7\pi}{2} получаем -\dfrac{11}{4}\le n\le-2 — подходит n=-2, корень \dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2} (правый конец отрезка, включается).

Серия -\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: -\dfrac{7}{3}\le n\le-\dfrac{19}{12} — подходит n=-2, корень -\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{13\pi}{3}.

Серия -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n: -\dfrac{13}{6}\le n\le-\dfrac{17}{12} — подходит n=-2, корень -\dfrac{2\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{14\pi}{3}.

Контроль: -5\pi=-\dfrac{15\pi}{3}\le-\dfrac{14\pi}{3}<-\dfrac{13\pi}{3}<-\dfrac{10{,}5\pi}{3}=-\dfrac{7\pi}{2} — все три корня внутри отрезка, всё сходится.