Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022209

а) Разбираем обе части. Слева $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ — классическая формула понижения степени. Справа формула приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$, поэтому $-2\sin(x+\pi)=2\sin x$. Уравнение: $2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}+2\sin x$.

Переносим всё влево и удобно расставляем: $2\sin^2 x-2\sin x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}=0$. Группируем: $2\sin x(\sin x-1)+\sqrt{2}(\sin x-1)=0$, то есть $(\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{2})=0$.

Первая скобка: $\sin x=1$, серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая: $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, серии $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{2}$: слева $1-\cos\pi+\sqrt{2}\cdot 1=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$, справа $\sqrt{2}-2\sin\dfrac{3\pi}{2}=\sqrt{2}+2$ — всё сходится. И ещё $x=-\dfrac{\pi}{4}$: слева $1-\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)-1=0$, справа $\sqrt{2}-2\sin\dfrac{3\pi}{4}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$ — тоже верно.

б) Отрезок $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$ лежит в минусах — аккуратно работаем с отрицательными $n$.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: из $-3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{7}{4}\le n\le-1$ — подходит $n=-1$, корень $-\dfrac{3\pi}{2}$ (это правый конец отрезка, он включается).

Серия $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $-\dfrac{11}{8}\le n\le-\dfrac{5}{8}$ — подходит $n=-1$, корень $-\dfrac{9\pi}{4}$.

Серия $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: $-\dfrac{9}{8}\le n\le-\dfrac{3}{8}$ — подходит $n=-1$, корень $-\dfrac{11\pi}{4}$.

Контроль: $-3\pi=-\dfrac{12\pi}{4}\le-\dfrac{11\pi}{4}<-\dfrac{9\pi}{4}<-\dfrac{6\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2}$ — все три корня на отрезке, всё сходится.