а) Разбираем обе части. Слева 1-\cos 2x=2\sin^2 x — классическая формула понижения степени. Справа формула приведения: \sin(x+\pi)=-\sin x, поэтому -2\sin(x+\pi)=2\sin x. Уравнение: 2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}+2\sin x.

Переносим всё влево и удобно расставляем: 2\sin^2 x-2\sin x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}=0. Группируем: 2\sin x(\sin x-1)+\sqrt{2}(\sin x-1)=0, то есть (\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{2})=0.

Первая скобка: \sin x=1, серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая: \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, серии x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{2}: слева 1-\cos\pi+\sqrt{2}\cdot 1=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}, справа \sqrt{2}-2\sin\dfrac{3\pi}{2}=\sqrt{2}+2 — всё сходится. И ещё x=-\dfrac{\pi}{4}: слева 1-\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)-1=0, справа \sqrt{2}-2\sin\dfrac{3\pi}{4}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0 — тоже верно.

б) Отрезок \left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right] лежит в минусах — аккуратно работаем с отрицательными n.

Серия \dfrac{\pi}{2}+2\pi n: из -3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2} получаем -\dfrac{7}{4}\le n\le-1 — подходит n=-1, корень -\dfrac{3\pi}{2} (это правый конец отрезка, он включается).

Серия -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: -\dfrac{11}{8}\le n\le-\dfrac{5}{8} — подходит n=-1, корень -\dfrac{9\pi}{4}.

Серия -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: -\dfrac{9}{8}\le n\le-\dfrac{3}{8} — подходит n=-1, корень -\dfrac{11\pi}{4}.

Контроль: -3\pi=-\dfrac{12\pi}{4}\le-\dfrac{11\pi}{4}<-\dfrac{9\pi}{4}<-\dfrac{6\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2} — все три корня на отрезке, всё сходится.