Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022208

а) Синус — нечётная функция: $\sin(-x)=-\sin x$, поэтому $2\sqrt{3}\sin(-x)=-2\sqrt{3}\sin x$. Уравнение: $2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^2 x=\sqrt{3}-4$.

Приводим всё к синусу: $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, значит $-4\cos^2 x=-4+4\sin^2 x$. Свободные $-4$ слева и справа сокращаются, и после переноса остаётся: $4\sin^2 x+2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0$.

Группируем парами: $2\sin x(2\sin x+1)-\sqrt{3}(2\sin x+1)=0$, то есть $(2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt{3})=0$.

Первая скобка: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$, серии $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая: $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, серии $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=-\dfrac{\pi}{6}$: $2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}-4\cdot\dfrac{3}{4}=-1+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-4$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

Серия $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{13\pi}{3}$.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12}$ — целых $n$ нет, корней не даёт.

Серия $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{19}{12}\le n\le\dfrac{7}{3}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{23\pi}{6}$.

Серия $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{23}{12}\le n\le\dfrac{8}{3}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{19\pi}{6}$.

Контроль: $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}\le\dfrac{19\pi}{6}<\dfrac{23\pi}{6}<\dfrac{26\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{3}\le\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2}$ — все три корня внутри отрезка, всё сходится.