а) Синус — нечётная функция: \sin(-x)=-\sin x, поэтому 2\sqrt{3}\sin(-x)=-2\sqrt{3}\sin x. Уравнение: 2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-4\cos^2 x=\sqrt{3}-4.

Приводим всё к синусу: \cos^2 x=1-\sin^2 x, значит -4\cos^2 x=-4+4\sin^2 x. Свободные -4 слева и справа сокращаются, и после переноса остаётся: 4\sin^2 x+2\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0.

Группируем парами: 2\sin x(2\sin x+1)-\sqrt{3}(2\sin x+1)=0, то есть (2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt{3})=0.

Первая скобка: \sin x=-\dfrac{1}{2}, серии x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n и x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая: \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, серии x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n и x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=-\dfrac{\pi}{6}: 2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}-4\cdot\dfrac{3}{4}=-1+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-4 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right].

Серия \dfrac{\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12} — подходит n=2, корень \dfrac{13\pi}{3}.

Серия \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12} — целых n нет, корней не даёт.

Серия -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: \dfrac{19}{12}\le n\le\dfrac{7}{3} — подходит n=2, корень \dfrac{23\pi}{6}.

Серия -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: \dfrac{23}{12}\le n\le\dfrac{8}{3} — подходит n=2, корень \dfrac{19\pi}{6}.

Контроль: 3\pi=\dfrac{18\pi}{6}\le\dfrac{19\pi}{6}<\dfrac{23\pi}{6}<\dfrac{26\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{3}\le\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2} — все три корня внутри отрезка, всё сходится.