а) Решите уравнение 2 косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 4 синус в квадрате x равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 4 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 2пи; дробь: числитель: 7пи, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

а) плюс-минус дробь: числитель: пи, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2пиn , плюс-минус дробь: числитель: 2пи, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2пиn , n принадлежит Z ; б) дробь: числитель: 13пи, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 8пи, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 10пи, знаменатель: 3 конец дроби

Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус x минус 2 корень из: начало…

№2. Задание 13

ID: 00022207

а) Решите уравнение

2\cos x-2\sqrt{3}\cos(-x)-4\sin^2 x=\sqrt{3}-4

. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x)=\cos x$ , и минус под косинусом просто исчезает: $2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4\sin^2 x=\sqrt{3}-4$ .

Приведём всё к косинусу: $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ , значит $-4\sin^2 x=-4+4\cos^2 x$ . Подставляем и переносим всё влево: $4\cos^2 x+2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0$ (свободные $-4$ слева и справа сократились).

Группируем парами: $2\cos x(2\cos x+1)-\sqrt{3}(2\cos x+1)=0$ , то есть $(2\cos x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0$ .

Первая скобка: $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ , откуда $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Вторая: $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .

Проверим $x=\dfrac{2\pi}{3}$ : $2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-2\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-4\cdot\dfrac{3}{4}=-1+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-4$ — всё сходится.

б) Отбор на отрезке $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$ по двойному неравенству для каждой серии.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ : $\dfrac{11}{12}\le n\le\dfrac{5}{3}$ — подходит $n=1$ , корень $\dfrac{13\pi}{6}$ .

Серия $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ : $\dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6}$ — целых $n$ нет: при $n=1$ корень $\dfrac{11\pi}{6}$ не дотягивает до $2\pi$ , при $n=2$ корень $\dfrac{23\pi}{6}$ перелетает за $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$ .

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ : $\dfrac{2}{3}\le n\le\dfrac{17}{12}$ — подходит $n=1$ , корень $\dfrac{8\pi}{3}$ .

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ : $\dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12}$ — подходит $n=2$ , корень $\dfrac{10\pi}{3}$ .

Контроль: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}\le\dfrac{13\pi}{6}$ , а $\dfrac{10\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{6}\le\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}$ — все три корня внутри, всё сходится.

Ответ

а)

\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n

\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n

n\in\mathbb{Z}

; б)

\dfrac{13\pi}{6}

;

\dfrac{8\pi}{3}

;

\dfrac{10\pi}{3}