Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022207

а) Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x)=\cos x$, и минус под косинусом просто исчезает: $2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4\sin^2 x=\sqrt{3}-4$.

Приведём всё к косинусу: $\sin^2 x=1-\cos^2 x$, значит $-4\sin^2 x=-4+4\cos^2 x$. Подставляем и переносим всё влево: $4\cos^2 x+2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0$ (свободные $-4$ слева и справа сократились).

Группируем парами: $2\cos x(2\cos x+1)-\sqrt{3}(2\cos x+1)=0$, то есть $(2\cos x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0$.

Первая скобка: $\cos x=-\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая: $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{2\pi}{3}$: $2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-2\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-4\cdot\dfrac{3}{4}=-1+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-4$ — всё сходится.

б) Отбор на отрезке $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$ по двойному неравенству для каждой серии.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{11}{12}\le n\le\dfrac{5}{3}$ — подходит $n=1$, корень $\dfrac{13\pi}{6}$.

Серия $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6}$ — целых $n$ нет: при $n=1$ корень $\dfrac{11\pi}{6}$ не дотягивает до $2\pi$, при $n=2$ корень $\dfrac{23\pi}{6}$ перелетает за $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{2}{3}\le n\le\dfrac{17}{12}$ — подходит $n=1$, корень $\dfrac{8\pi}{3}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{10\pi}{3}$.

Контроль: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}\le\dfrac{13\pi}{6}$, а $\dfrac{10\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{6}\le\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}$ — все три корня внутри, всё сходится.