Показательны… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022206

а) Перед нами обычное квадратное уравнение, только вместо $x$ в нём сидит тангенс. Сделаем замену $t=\mathrm{tg}\,x$ (тангенс определён при $\cos x\ne 0$ — это учтём в ответе автоматически): $\sqrt{3}t^2-4t+\sqrt{3}=0$.

Считаем дискриминант: $D=16-4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=16-12=4$, $\sqrt{D}=2$. Тогда $t=\dfrac{4\pm 2}{2\sqrt{3}}$: первый корень $t_1=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, второй $t_2=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Быстрая проверка по Виету: произведение корней $\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, сумма $\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ — всё сходится.

Возвращаемся к $x$. Из $\mathrm{tg}\,x=\sqrt{3}$ получаем $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, из $\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ получаем $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Обрати внимание: у тангенса период $\pi$, поэтому прибавляем $\pi n$, а не $2\pi n$.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\pi;\,\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+\pi n$: из $\pi\le\dfrac{\pi}{6}+\pi n\le\dfrac{5\pi}{2}$ получаем $\dfrac{5}{6}\le n\le\dfrac{7}{3}$ — подходят $n=1$ и $n=2$, корни $\dfrac{7\pi}{6}$ и $\dfrac{13\pi}{6}$.

Серия $\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: $\dfrac{2}{3}\le n\le\dfrac{13}{6}$ — подходят $n=1$ и $n=2$, корни $\dfrac{4\pi}{3}$ и $\dfrac{7\pi}{3}$.

Контроль: $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{15\pi}{6}$, и оба «верхних» корня $\dfrac{13\pi}{6}$ и $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{6}$ не вылезают за край — всё сходится. Итого четыре корня.