а) Начинаем с формулы приведения: \cos(\pi-2x)=-\cos 2x, поэтому -2\cos(\pi-2x)=2\cos 2x. Корни упростим: \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{12}=2\sqrt{3}. Получаем 2+2\cos 2x+2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cos x.

Сумма 2+2\cos 2x — это заготовка под косинус: по формуле \cos 2x=2\cos^2 x-1 имеем 2+2\cos 2x=4\cos^2 x. Переносим всё влево: 4\cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{6}=0.

Группируем: 2\cos x(2\cos x+\sqrt{2})-\sqrt{3}(2\cos x+\sqrt{2})=0, то есть (2\cos x+\sqrt{2})(2\cos x-\sqrt{3})=0 — здесь работает то, что \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.

Первая скобка даёт \cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, откуда x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая — \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверка на x=\dfrac{\pi}{6}: слева 2-2\cos\dfrac{2\pi}{3}+2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2+1+\sqrt{6}=3+\sqrt{6}, справа \sqrt{6}+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}+3 — всё сходится.

б) Отбор на отрезке \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right] — по двойному неравенству для каждой из четырёх серий.

Серия \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: \dfrac{9}{8}\le n\le\dfrac{15}{8} — целых n нет, корней на отрезке эта серия не даёт.

Серия -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: \dfrac{15}{8}\le n\le\dfrac{21}{8} — подходит n=2, корень \dfrac{13\pi}{4}.

Серия \dfrac{\pi}{6}+2\pi n: \dfrac{17}{12}\le n\le\dfrac{13}{6} — подходит n=2, корень \dfrac{25\pi}{6}.

Серия -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: \dfrac{19}{12}\le n\le\dfrac{7}{3} — подходит n=2, корень \dfrac{23\pi}{6}.

Контроль: 3\pi=\dfrac{18\pi}{6}\le\dfrac{19{,}5\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{4}, далее \dfrac{23\pi}{6}<\dfrac{25\pi}{6}\le\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2} — все три корня внутри отрезка, всё сходится.