Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022205

а) Начинаем с формулы приведения: $\cos(\pi-2x)=-\cos 2x$, поэтому $-2\cos(\pi-2x)=2\cos 2x$. Корни упростим: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Получаем $2+2\cos 2x+2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cos x$.

Сумма $2+2\cos 2x$ — это заготовка под косинус: по формуле $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ имеем $2+2\cos 2x=4\cos^2 x$. Переносим всё влево: $4\cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{6}=0$.

Группируем: $2\cos x(2\cos x+\sqrt{2})-\sqrt{3}(2\cos x+\sqrt{2})=0$, то есть $(2\cos x+\sqrt{2})(2\cos x-\sqrt{3})=0$ — здесь работает то, что $\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}$.

Первая скобка даёт $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая — $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверка на $x=\dfrac{\pi}{6}$: слева $2-2\cos\dfrac{2\pi}{3}+2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2+1+\sqrt{6}=3+\sqrt{6}$, справа $\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}+3$ — всё сходится.

б) Отбор на отрезке $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$ — по двойному неравенству для каждой из четырёх серий.

Серия $\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{9}{8}\le n\le\dfrac{15}{8}$ — целых $n$ нет, корней на отрезке эта серия не даёт.

Серия $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{15}{8}\le n\le\dfrac{21}{8}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{13\pi}{4}$.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{17}{12}\le n\le\dfrac{13}{6}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{25\pi}{6}$.

Серия $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: $\dfrac{19}{12}\le n\le\dfrac{7}{3}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{23\pi}{6}$.

Контроль: $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}\le\dfrac{19{,}5\pi}{6}=\dfrac{13\pi}{4}$, далее $\dfrac{23\pi}{6}<\dfrac{25\pi}{6}\le\dfrac{27\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{2}$ — все три корня внутри отрезка, всё сходится.