Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022204

а) Сначала наведём порядок. По формуле приведения $\cos(\pi-2x)=-\cos 2x$, а корни упростим: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Уравнение становится таким: $2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x$.

Теперь ключевой ход: $2-2\cos 2x$ — готовая заготовка под синус. Так как $\cos 2x=1-2\sin^2 x$, получаем $2-2\cos 2x=4\sin^2 x$. Переносим всё влево: $4\sin^2 x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0$.

Группируем парами и выносим общие множители: $2\sin x(2\sin x+\sqrt{2})-\sqrt{3}(2\sin x+\sqrt{2})=0$, то есть $(2\sin x+\sqrt{2})(2\sin x-\sqrt{3})=0$. Заметь, всё честно: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}$ — при раскрытии скобок получается ровно наша строка.

Произведение равно нулю, когда нулю равна хотя бы одна из скобок. Первая даёт $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: серии $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Вторая даёт $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: серии $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим, например, $x=\dfrac{\pi}{3}$: слева $2+2\cos\dfrac{\pi}{3}+2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2+1+\sqrt{6}=3+\sqrt{6}$, справа $\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}+3$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$: для каждой серии решаем двойное неравенство относительно $n$.

Серия $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: из $3\pi\le-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{9\pi}{2}$ получаем $\dfrac{15}{8}\le n\le\dfrac{21}{8}$ — подходит только $n=2$, корень $\dfrac{13\pi}{4}$.

Серия $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{13}{8}\le n\le\dfrac{19}{8}$ — снова $n=2$, корень $\dfrac{15\pi}{4}$.

Серия $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12}$ — подходит $n=2$, корень $\dfrac{13\pi}{3}$.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: $\dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12}$ — целых $n$ здесь нет, эта серия корней на отрезок не попадает.

Контроль: $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}\le\dfrac{13\pi}{4}<\dfrac{15\pi}{4}\le\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2}$, а $\dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi$ тоже внутри — всё сходится.