а) Сначала наведём порядок. По формуле приведения \cos(\pi-2x)=-\cos 2x, а корни упростим: \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{12}=2\sqrt{3}. Уравнение становится таким: 2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x.

Теперь ключевой ход: 2-2\cos 2x — готовая заготовка под синус. Так как \cos 2x=1-2\sin^2 x, получаем 2-2\cos 2x=4\sin^2 x. Переносим всё влево: 4\sin^2 x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0.

Группируем парами и выносим общие множители: 2\sin x(2\sin x+\sqrt{2})-\sqrt{3}(2\sin x+\sqrt{2})=0, то есть (2\sin x+\sqrt{2})(2\sin x-\sqrt{3})=0. Заметь, всё честно: \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6} — при раскрытии скобок получается ровно наша строка.

Произведение равно нулю, когда нулю равна хотя бы одна из скобок. Первая даёт \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}: серии x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}. Вторая даёт \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}: серии x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n и x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим, например, x=\dfrac{\pi}{3}: слева 2+2\cos\dfrac{\pi}{3}+2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2+1+\sqrt{6}=3+\sqrt{6}, справа \sqrt{6}+2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}+3 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]: для каждой серии решаем двойное неравенство относительно n.

Серия -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: из 3\pi\le-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{9\pi}{2} получаем \dfrac{15}{8}\le n\le\dfrac{21}{8} — подходит только n=2, корень \dfrac{13\pi}{4}.

Серия -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: \dfrac{13}{8}\le n\le\dfrac{19}{8} — снова n=2, корень \dfrac{15\pi}{4}.

Серия \dfrac{\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{4}{3}\le n\le\dfrac{25}{12} — подходит n=2, корень \dfrac{13\pi}{3}.

Серия \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n: \dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12} — целых n здесь нет, эта серия корней на отрезок не попадает.

Контроль: 3\pi=\dfrac{12\pi}{4}\le\dfrac{13\pi}{4}<\dfrac{15\pi}{4}\le\dfrac{18\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{2}, а \dfrac{13\pi}{3}\approx 4{,}33\pi тоже внутри — всё сходится.