Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022203

а) Уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$ начинается с подарка: косинус — чётная функция, значит $\cos(-x) = \cos x$, и перед нами просто $\cos 2x + \cos x = 0$.

Раскрываем двойной угол: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Получаем квадратное уравнение относительно косинуса: $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.

Замена $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $2t^2 + t - 1 = 0$, дискриминант $D = 1 + 8 = 9$, корни $t = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$: получаем $t = \dfrac{1}{2}$ или $t = -1$ — оба допустимы.

Из $\cos x = -1$ получаем $x = \pi + 2\pi n$ (косинус равен минус единице только в левой точке круга); из $\cos x = \dfrac{1}{2}$ — серии $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = \dfrac{\pi}{3}$: $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, сумма равна нулю. И $x = \pi$: $\cos 2\pi = 1$, $\cos(-\pi) = -1$, снова ноль — всё сходится.

б) Отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\, -2\pi\right]$ — примерно $[-11{,}0;\, -6{,}28]$.

Серия $x = \pi + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $\pi - 4\pi = -3\pi \approx -9{,}42$ — внутри; $n = -1$ даёт $-\pi \approx -3{,}14$ — правее; $n = -3$ даёт $-5\pi$ — далеко влево.

Серия $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $\dfrac{\pi}{3} - 4\pi = -\dfrac{11\pi}{3} \approx -11{,}52$ — левее $-\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0$, не попадает; $n = -1$ даёт $-\dfrac{5\pi}{3} \approx -5{,}24$ — правее. Пусто.

Серия $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $n = -1$ даёт $-\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{3} \approx -7{,}33$ — внутри; $n = -2$ даёт $-\dfrac{13\pi}{3} \approx -13{,}61$ — мимо.

Итого два корня: $-3\pi$ и $-\dfrac{7\pi}{3}$. Проверка: $\cos(-3\pi) = -1$ — случай $\cos x = -1$; $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{7\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ — случай $\cos x = \dfrac{1}{2}$. Всё сходится.