а) Уравнение \cos 2x + \cos(-x) = 0 начинается с подарка: косинус — чётная функция, значит \cos(-x) = \cos x, и перед нами просто \cos 2x + \cos x = 0.

Раскрываем двойной угол: \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. Получаем квадратное уравнение относительно косинуса: 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0.

Замена t = \cos x, |t| \le 1: 2t^2 + t - 1 = 0, дискриминант D = 1 + 8 = 9, корни t = \dfrac{-1 \pm 3}{4}: получаем t = \dfrac{1}{2} или t = -1 — оба допустимы.

Из \cos x = -1 получаем x = \pi + 2\pi n (косинус равен минус единице только в левой точке круга); из \cos x = \dfrac{1}{2} — серии x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. Проверим x = \dfrac{\pi}{3}: \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}, \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, сумма равна нулю. И x = \pi: \cos 2\pi = 1, \cos(-\pi) = -1, снова ноль — всё сходится.

б) Отрезок \left[-\dfrac{7\pi}{2};\, -2\pi\right] — примерно [-11{,}0;\, -6{,}28].

Серия x = \pi + 2\pi n: n = -2 даёт \pi - 4\pi = -3\pi \approx -9{,}42 — внутри; n = -1 даёт -\pi \approx -3{,}14 — правее; n = -3 даёт -5\pi — далеко влево.

Серия x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n: n = -2 даёт \dfrac{\pi}{3} - 4\pi = -\dfrac{11\pi}{3} \approx -11{,}52 — левее -\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0, не попадает; n = -1 даёт -\dfrac{5\pi}{3} \approx -5{,}24 — правее. Пусто.

Серия x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n: n = -1 даёт -\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{3} \approx -7{,}33 — внутри; n = -2 даёт -\dfrac{13\pi}{3} \approx -13{,}61 — мимо.

Итого два корня: -3\pi и -\dfrac{7\pi}{3}. Проверка: \cos(-3\pi) = -1 — случай \cos x = -1; \cos\left(-\dfrac{7\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{7\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} — случай \cos x = \dfrac{1}{2}. Всё сходится.