Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022202

а) Уравнение $\cos 2x - 3\sin(-x) - 2 = 0$. Синус нечётный, поэтому $-3\sin(-x) = 3\sin x$, и уравнение превращается в $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$.

Двойной угол раскрываем через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Получаем $1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$, приводим подобные и умножаем на $-1$: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Замена $t = \sin x$, $|t| \le 1$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$, дискриминант $D = 9 - 8 = 1$, корни $t = \dfrac{3 \pm 1}{4}$: получаем $t = 1$ или $t = \dfrac{1}{2}$ — оба допустимы.

Из $\sin x = 1$ получаем одну серию $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ (синус равен единице только в верхней точке круга); из $\sin x = \dfrac{1}{2}$ — серии $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = \dfrac{\pi}{6}$: $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $-3\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3}{2}$, итого $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} - 2 = 0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[3\pi;\, \dfrac{9\pi}{2}\right]$ — примерно $[9{,}42;\, 14{,}14]$.

Серия $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$: $n = 2$ даёт $\dfrac{\pi}{2} + 4\pi = \dfrac{9\pi}{2}$ — правый конец, он включён, берём; $n = 1$ даёт $\dfrac{5\pi}{2} \approx 7{,}85$ — недолёт.

Серия $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$: $n = 2$ даёт $\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{25\pi}{6} \approx 13{,}09$ — внутри; $n = 1$ даёт $\dfrac{13\pi}{6} \approx 6{,}81$ — недолёт.

Серия $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: $n = 1$ даёт $\dfrac{17\pi}{6} \approx 8{,}90$ — чуть-чуть не дотянул до $3\pi \approx 9{,}42$; $n = 2$ даёт $\dfrac{29\pi}{6} \approx 15{,}18$ — перелёт. Пусто.

Итого: $\dfrac{25\pi}{6}$ и $\dfrac{9\pi}{2}$. Проверка: $\sin\dfrac{9\pi}{2} = \sin\left(\dfrac{9\pi}{2} - 4\pi\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ — наш первый случай, всё сходится.