Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022201

а) В уравнении $2\sin^2 x + \cos(-x) - 1 = 0$ вспоминаем, что косинус — функция чётная: $\cos(-x) = \cos x$, минус просто исчезает. Остаётся $2\sin^2 x + \cos x - 1 = 0$.

Синус в квадрате отлично меняется на косинус: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставляем: $2 - 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$, приводим подобные: $-2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$, умножаем на $-1$: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.

Замена $t = \cos x$, $|t| \le 1$: $2t^2 - t - 1 = 0$, дискриминант $D = 1 + 8 = 9$, корни $t = \dfrac{1 \pm 3}{4}$: получаем $t = 1$ или $t = -\dfrac{1}{2}$ — оба допустимы.

Из $\cos x = 1$ получаем $x = 2\pi n$; из $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ — серии $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = \dfrac{2\pi}{3}$: $2\sin^2\dfrac{2\pi}{3} = 2\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$, $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$, итого $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} - 1 = 0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[-\dfrac{9\pi}{2};\, -3\pi\right]$ — примерно $[-14{,}14;\, -9{,}42]$.

Серия $x = 2\pi n$: $n = -2$ даёт $-4\pi \approx -12{,}57$ — внутри; $n = -1$ даёт $-2\pi \approx -6{,}28$ — правее отрезка; $n = -3$ даёт $-6\pi$ — далеко влево.

Серия $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $\dfrac{2\pi}{3} - 4\pi = -\dfrac{10\pi}{3} \approx -10{,}47$ — внутри; $n = -1$ даёт $-\dfrac{4\pi}{3} \approx -4{,}19$ — мимо; $n = -3$ даёт $-\dfrac{16\pi}{3} \approx -16{,}76$ — мимо.

Серия $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $n = -1$ даёт $-\dfrac{8\pi}{3} \approx -8{,}38$ — правее $-3\pi$; $n = -2$ даёт $-\dfrac{14\pi}{3} \approx -14{,}66$ — левее $-\dfrac{9\pi}{2}$. Пусто.

Итого два корня: $-4\pi$ и $-\dfrac{10\pi}{3}$. Проверка: $\cos(-4\pi) = 1$ — это случай $\cos x = 1$; $\cos\left(-\dfrac{10\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{10\pi}{3} = \cos\left(\dfrac{10\pi}{3} - 2\pi\right) = \cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ — второй случай. Всё сходится.