ID: 00022200
Источник: ФИПИ
а) Уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(-x) - 3 = 0$. Синус — функция нечётная: минус из аргумента выпрыгивает наружу, $\sin(-x) = -\sin x$. Получаем $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$.
Приводим к одной функции: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, значит $2 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0$. Собираем и умножаем на $-1$: $2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$.
Замена $t = \sin x$, $|t| \le 1$: $2t^2 + 3t + 1 = 0$, дискриминант $D = 9 - 8 = 1$, корни $t = \dfrac{-3 \pm 1}{4}$, то есть $t = -1$ или $t = -\dfrac{1}{2}$ — оба допустимы.
Из $\sin x = -1$ получаем $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; из $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ — серии $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверка на $x = -\dfrac{5\pi}{6}$: $\cos^2\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{3}{4}$, значит первое слагаемое $2\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$; далее $3\sin\dfrac{5\pi}{6} = 3\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$; итого $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} - 3 = 0$ — всё сходится.
б) Отрезок $\left[2\pi;\, \dfrac{7\pi}{2}\right]$ переводим в приближённые числа: $[6{,}28;\, 11{,}0]$. Смотрим каждую серию.
Серия $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$: при $n = 2$ выходит $\dfrac{7\pi}{2}$ — правый конец отрезка, он включён; при $n = 1$ выходит $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ — не дотягивает.
Серия $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $\dfrac{11\pi}{6} \approx 5{,}76$ — недолёт, при $n = 2$ получаем $\dfrac{23\pi}{6} \approx 12{,}04$ — перелёт. Пусто.
Серия $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = 2$ получаем $\dfrac{19\pi}{6} \approx 9{,}95$ — в самый раз; при $n = 1$ получаем $\dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67$ — мимо.
Итого на отрезке два корня: $\dfrac{19\pi}{6}$ и $\dfrac{7\pi}{2}$. Проверка: $\sin\dfrac{7\pi}{2} = \sin\left(\dfrac{7\pi}{2} - 4\pi\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$ — случай $\sin x = -1$, всё сходится.