Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022199

а) В уравнении $2\cos^2 x + 3\sin(x+\pi) - 3 = 0$ первым делом упрощаем сдвиг: $\sin(x+\pi) = -\sin x$. Получаем $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$.

Теперь приводим всё к синусу через основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставляем: $2 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0$, приводим подобные и умножаем на $-1$: $2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$.

Делаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 + 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 8 = 1$, корни $t = \dfrac{-3 \pm 1}{4}$: получаем $t = -\dfrac{1}{2}$ и $t = -1$. Оба не вылезают за пределы $[-1;\, 1]$ — работаем с обоими.

Если $\sin x = -1$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$. Если $\sin x = -\dfrac{1}{2}$, то $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = -\dfrac{\pi}{6}$: $2\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$, $3\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi\right) = 3\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, и $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} - 3 = 0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[2\pi;\, \dfrac{7\pi}{2}\right]$ — примерно $[6{,}28;\, 11{,}0]$.

Серия $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$: $n = 2$ даёт $-\dfrac{\pi}{2} + 4\pi = \dfrac{7\pi}{2}$ — это правый конец отрезка, он включён, берём; $n = 1$ даёт $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ — левее отрезка.

Серия $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$: $n = 2$ даёт $\dfrac{23\pi}{6} \approx 12{,}04$ — перелёт; $n = 1$ даёт $\dfrac{11\pi}{6} \approx 5{,}76$ — недолёт. Пусто.

Серия $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: $n = 2$ даёт $-\dfrac{5\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{6} \approx 9{,}95$ — внутри; $n = 1$ даёт $\dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67$ — мимо.

Итого два корня: $\dfrac{19\pi}{6}$ и $\dfrac{7\pi}{2}$. Проверка: $\sin\dfrac{19\pi}{6} = \sin\left(\dfrac{19\pi}{6} - 2\pi\right) = \sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ — ровно наш случай, всё сходится.