а) В уравнении 2\cos^2 x + 3\sin(x+\pi) - 3 = 0 первым делом упрощаем сдвиг: \sin(x+\pi) = -\sin x. Получаем 2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0.

Теперь приводим всё к синусу через основное тригонометрическое тождество: \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Подставляем: 2 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0, приводим подобные и умножаем на -1: 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0.

Делаем замену t = \sin x, где |t| \le 1: 2t^2 + 3t + 1 = 0. Дискриминант D = 9 - 8 = 1, корни t = \dfrac{-3 \pm 1}{4}: получаем t = -\dfrac{1}{2} и t = -1. Оба не вылезают за пределы [-1;\, 1] — работаем с обоими.

Если \sin x = -1, то x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n. Если \sin x = -\dfrac{1}{2}, то x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n или x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. Проверим x = -\dfrac{\pi}{6}: 2\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}, 3\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi\right) = 3\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}, и \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} - 3 = 0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[2\pi;\, \dfrac{7\pi}{2}\right] — примерно [6{,}28;\, 11{,}0].

Серия x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n: n = 2 даёт -\dfrac{\pi}{2} + 4\pi = \dfrac{7\pi}{2} — это правый конец отрезка, он включён, берём; n = 1 даёт \dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 — левее отрезка.

Серия x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n: n = 2 даёт \dfrac{23\pi}{6} \approx 12{,}04 — перелёт; n = 1 даёт \dfrac{11\pi}{6} \approx 5{,}76 — недолёт. Пусто.

Серия x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n: n = 2 даёт -\dfrac{5\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{6} \approx 9{,}95 — внутри; n = 1 даёт \dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67 — мимо.

Итого два корня: \dfrac{19\pi}{6} и \dfrac{7\pi}{2}. Проверка: \sin\dfrac{19\pi}{6} = \sin\left(\dfrac{19\pi}{6} - 2\pi\right) = \sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2} — ровно наш случай, всё сходится.