Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022198

а) Уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) + \cos(\pi - x) = 0$ выглядит грозно, но обе конструкции сводятся к $\cos x$. Во-первых, $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos x$: угол $\dfrac{3\pi}{2}$ меняет синус на косинус, а знак минус, потому что при маленьком $x$ точка $\dfrac{3\pi}{2}+x$ сидит в четвёртой четверти, где синус отрицателен. При возведении в квадрат минус исчезает: $\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = \cos^2 x$. Во-вторых, $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

Уравнение стало ручным: $2\cos^2 x - \cos x = 0$. Выносим общий множитель: $\cos x\,(2\cos x - 1) = 0$.

Либо $\cos x = 0$ и $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$; либо $\cos x = \dfrac{1}{2}$ и $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = \dfrac{\pi}{3}$: $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, квадрат даёт $\dfrac{1}{4}$, значит первое слагаемое $2\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$; а $\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$. Сумма: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[-2\pi;\, -\dfrac{\pi}{2}\right]$ — примерно $[-6{,}28;\, -1{,}57]$.

Серия $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: $n = -2$ даёт $-\dfrac{3\pi}{2} \approx -4{,}71$ — внутри; $n = -1$ даёт $-\dfrac{\pi}{2}$ — правый конец, он включён; $n = -3$ даёт $-\dfrac{5\pi}{2}$ — левее отрезка.

Серия $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $n = -1$ даёт $\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} \approx -5{,}24$ — внутри; $n = 0$ даёт $\dfrac{\pi}{3}$ — правее.

Серия $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: $n = 0$ даёт $-\dfrac{\pi}{3} \approx -1{,}05$ — правее $-\dfrac{\pi}{2}$; $n = -1$ даёт $-\dfrac{7\pi}{3} \approx -7{,}33$ — левее. Пусто.

Итого: $-\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$. Проверка конца: при $x = -\dfrac{\pi}{2}$ получаем $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\sin^2\pi = 0$ и $\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$, итого $0 + 0 = 0$ — всё сходится.