а) В уравнении \cos 2x - \sqrt{2}\sin(x+\pi) - 1 = 0 сначала убираем сдвиг: \sin(x+\pi) = -\sin x — переезд в диаметрально противоположную точку круга меняет знак синуса. Получаем \cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0.

Осталась смесь из 2x и x — раскрываем двойной угол через синус: \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x. Подставим: 1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0, единицы сократились, умножаем на -1: 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0, выносим множитель: \sin x\,(2\sin x - \sqrt{2}) = 0.

Либо \sin x = 0, тогда x = \pi n; либо \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, тогда x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n или x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. Проверим x = \dfrac{\pi}{4}: \cos\dfrac{\pi}{2} = 0, \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, значит 0 - \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[-\dfrac{7\pi}{2};\, -2\pi\right] — примерно [-11{,}0;\, -6{,}28].

Серия x = \pi n: n = -3 даёт -3\pi \approx -9{,}42 — внутри; n = -2 даёт -2\pi — правый конец, он включён; n = -4 даёт -4\pi \approx -12{,}57 — мимо.

Серия x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n: n = -1 даёт -\dfrac{7\pi}{4} \approx -5{,}50 — правее отрезка; n = -2 даёт -\dfrac{15\pi}{4} \approx -11{,}78 — левее. Пусто.

Серия x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n: n = -2 даёт \dfrac{3\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{13\pi}{4} \approx -10{,}21 — внутри; n = -1 даёт -\dfrac{5\pi}{4} \approx -3{,}93 — правее.

Итого: -\dfrac{13\pi}{4}, -3\pi, -2\pi. Проверка: при x = -3\pi имеем \cos(-6\pi) = 1 и \sin(-3\pi + \pi) = \sin(-2\pi) = 0, итого 1 - 0 - 1 = 0 — всё сходится.