ID: 00022197
Источник: ФИПИ
а) В уравнении $\cos 2x - \sqrt{2}\sin(x+\pi) - 1 = 0$ сначала убираем сдвиг: $\sin(x+\pi) = -\sin x$ — переезд в диаметрально противоположную точку круга меняет знак синуса. Получаем $\cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$.
Осталась смесь из $2x$ и $x$ — раскрываем двойной угол через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим: $1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$, единицы сократились, умножаем на $-1$: $2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$, выносим множитель: $\sin x\,(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$.
Либо $\sin x = 0$, тогда $x = \pi n$; либо $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, значит $0 - \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$ — всё сходится.
б) Отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\, -2\pi\right]$ — примерно $[-11{,}0;\, -6{,}28]$.
Серия $x = \pi n$: $n = -3$ даёт $-3\pi \approx -9{,}42$ — внутри; $n = -2$ даёт $-2\pi$ — правый конец, он включён; $n = -4$ даёт $-4\pi \approx -12{,}57$ — мимо.
Серия $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -1$ даёт $-\dfrac{7\pi}{4} \approx -5{,}50$ — правее отрезка; $n = -2$ даёт $-\dfrac{15\pi}{4} \approx -11{,}78$ — левее. Пусто.
Серия $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $\dfrac{3\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{13\pi}{4} \approx -10{,}21$ — внутри; $n = -1$ даёт $-\dfrac{5\pi}{4} \approx -3{,}93$ — правее.
Итого: $-\dfrac{13\pi}{4}$, $-3\pi$, $-2\pi$. Проверка: при $x = -3\pi$ имеем $\cos(-6\pi) = 1$ и $\sin(-3\pi + \pi) = \sin(-2\pi) = 0$, итого $1 - 0 - 1 = 0$ — всё сходится.