а) Смотрим на \cos 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi) + 1 = 0. Сдвиг на \pi — самый дружелюбный: точка на тригонометрическом круге переезжает в диаметрально противоположную, и косинус просто меняет знак: \cos(x+\pi) = -\cos x.

Уравнение: \cos 2x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0. Двойной угол раскрываем через косинус: \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. Тогда 2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0, единицы ушли: 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0, выносим множитель: \cos x\,(2\cos x - \sqrt{2}) = 0.

Либо \cos x = 0 и x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, либо \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} и x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. Проверка для x = \dfrac{\pi}{4}: \cos\dfrac{\pi}{2} = 0, \cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, и 0 + \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[-4\pi;\, -\dfrac{5\pi}{2}\right] — примерно [-12{,}57;\, -7{,}85].

Серия x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n: n = -4 даёт -\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0 — внутри; n = -3 даёт -\dfrac{5\pi}{2} — правый конец, он включён; n = -5 даёт -\dfrac{9\pi}{2} \approx -14{,}1 — мимо.

Серия x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n: n = -2 даёт \dfrac{\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{15\pi}{4} \approx -11{,}78 — внутри; n = -1 даёт -\dfrac{7\pi}{4} \approx -5{,}50 — правее отрезка.

Серия x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n: n = -2 даёт -\dfrac{17\pi}{4} \approx -13{,}35 — левее -4\pi; n = -1 даёт -\dfrac{9\pi}{4} \approx -7{,}07 — правее -\dfrac{5\pi}{2}. Пусто.

Итого: -\dfrac{15\pi}{4}, -\dfrac{7\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{2}. Быстрая проверка конца: при x = -\dfrac{5\pi}{2} имеем \cos(-5\pi) = -1 и \cos\left(-\dfrac{5\pi}{2}+\pi\right) = \cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0, итого -1 + 0 + 1 = 0 — всё сходится.