ID: 00022196
Источник: ФИПИ
а) Смотрим на $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x+\pi) + 1 = 0$. Сдвиг на $\pi$ — самый дружелюбный: точка на тригонометрическом круге переезжает в диаметрально противоположную, и косинус просто меняет знак: $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
Уравнение: $\cos 2x - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$. Двойной угол раскрываем через косинус: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Тогда $2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$, единицы ушли: $2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$, выносим множитель: $\cos x\,(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$.
Либо $\cos x = 0$ и $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$, либо $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверка для $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, и $0 + \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$ — всё сходится.
б) Отрезок $\left[-4\pi;\, -\dfrac{5\pi}{2}\right]$ — примерно $[-12{,}57;\, -7{,}85]$.
Серия $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: $n = -4$ даёт $-\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0$ — внутри; $n = -3$ даёт $-\dfrac{5\pi}{2}$ — правый конец, он включён; $n = -5$ даёт $-\dfrac{9\pi}{2} \approx -14{,}1$ — мимо.
Серия $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $\dfrac{\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{15\pi}{4} \approx -11{,}78$ — внутри; $n = -1$ даёт $-\dfrac{7\pi}{4} \approx -5{,}50$ — правее отрезка.
Серия $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: $n = -2$ даёт $-\dfrac{17\pi}{4} \approx -13{,}35$ — левее $-4\pi$; $n = -1$ даёт $-\dfrac{9\pi}{4} \approx -7{,}07$ — правее $-\dfrac{5\pi}{2}$. Пусто.
Итого: $-\dfrac{15\pi}{4}$, $-\dfrac{7\pi}{2}$, $-\dfrac{5\pi}{2}$. Быстрая проверка конца: при $x = -\dfrac{5\pi}{2}$ имеем $\cos(-5\pi) = -1$ и $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{2}+\pi\right) = \cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$, итого $-1 + 0 + 1 = 0$ — всё сходится.