а) В уравнении \cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) + 1 = 0 мешает сдвиг \dfrac{\pi}{2}+x. Убираем его формулой приведения: \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \cos x — угол \dfrac{\pi}{2} меняет синус на косинус, а знак плюс, потому что при маленьком x точка \dfrac{\pi}{2}+x сидит во второй четверти, где синус положителен.

Получаем \cos 2x + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0. Раз всё крутится вокруг косинуса, раскроем двойной угол именно через косинус: \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. Подставляем: 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0, то есть 2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0. Выносим общий множитель: \cos x\,(2\cos x + \sqrt{3}) = 0.

Первый вариант: \cos x = 0, значит x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n. Второй: \cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, значит x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. Проверим, например, x = \dfrac{5\pi}{6}: \cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, \cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, и \dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} + 1 = 0 — всё сходится.

б) Отрезок \left[-3\pi;\, -\dfrac{3\pi}{2}\right] — примерно [-9{,}42;\, -4{,}71]. Идём по сериям.

Серия x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n: при n = -3 получаем \dfrac{\pi}{2} - 3\pi = -\dfrac{5\pi}{2} \approx -7{,}85 — внутри; при n = -2 получаем -\dfrac{3\pi}{2} — это правый конец, он включён, берём; при n = -4 будет -\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0 — вылетели влево.

Серия x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n: при n = -1 это -\dfrac{7\pi}{6} \approx -3{,}67 — правее отрезка; при n = -2 это -\dfrac{19\pi}{6} \approx -9{,}95 — уже левее -3\pi. Пусто.

Серия x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n: при n = -1 получаем -\dfrac{5\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{17\pi}{6} \approx -8{,}90 — попали; соседние n дают -\dfrac{5\pi}{6} и -\dfrac{29\pi}{6} — мимо.

Итого три корня: -\dfrac{17\pi}{6}, -\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{3\pi}{2}. Проверим конец: при x = -\dfrac{3\pi}{2} имеем \cos(-3\pi) = -1 и \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) = 0, итого -1 + 0 + 1 = 0 — всё сходится.