Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022195

а) В уравнении $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) + 1 = 0$ мешает сдвиг $\dfrac{\pi}{2}+x$. Убираем его формулой приведения: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \cos x$ — угол $\dfrac{\pi}{2}$ меняет синус на косинус, а знак плюс, потому что при маленьком $x$ точка $\dfrac{\pi}{2}+x$ сидит во второй четверти, где синус положителен.

Получаем $\cos 2x + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0$. Раз всё крутится вокруг косинуса, раскроем двойной угол именно через косинус: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставляем: $2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0$, то есть $2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$. Выносим общий множитель: $\cos x\,(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$.

Первый вариант: $\cos x = 0$, значит $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. Второй: $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, значит $x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, например, $x = \dfrac{5\pi}{6}$: $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, и $\dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} + 1 = 0$ — всё сходится.

б) Отрезок $\left[-3\pi;\, -\dfrac{3\pi}{2}\right]$ — примерно $[-9{,}42;\, -4{,}71]$. Идём по сериям.

Серия $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: при $n = -3$ получаем $\dfrac{\pi}{2} - 3\pi = -\dfrac{5\pi}{2} \approx -7{,}85$ — внутри; при $n = -2$ получаем $-\dfrac{3\pi}{2}$ — это правый конец, он включён, берём; при $n = -4$ будет $-\dfrac{7\pi}{2} \approx -11{,}0$ — вылетели влево.

Серия $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$ это $-\dfrac{7\pi}{6} \approx -3{,}67$ — правее отрезка; при $n = -2$ это $-\dfrac{19\pi}{6} \approx -9{,}95$ — уже левее $-3\pi$. Пусто.

Серия $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $-\dfrac{5\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{17\pi}{6} \approx -8{,}90$ — попали; соседние $n$ дают $-\dfrac{5\pi}{6}$ и $-\dfrac{29\pi}{6}$ — мимо.

Итого три корня: $-\dfrac{17\pi}{6}$, $-\dfrac{5\pi}{2}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$. Проверим конец: при $x = -\dfrac{3\pi}{2}$ имеем $\cos(-3\pi) = -1$ и $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) = 0$, итого $-1 + 0 + 1 = 0$ — всё сходится.