ID: 00022194
Источник: ФИПИ
а) Смотри: в уравнении $\cos 2x - \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) - 1 = 0$ живут два разных аргумента — $2x$ и $\dfrac{3\pi}{2}+x$. План простой: приводим всё к одной функции одного аргумента. Сначала формула приведения: $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = \sin x$. Почему так? Угол $\dfrac{3\pi}{2}$ меняет название функции (косинус становится синусом), а знак плюс, потому что при маленьком положительном $x$ точка $\dfrac{3\pi}{2}+x$ сидит в четвёртой четверти, где косинус положителен.
Уравнение превращается в $\cos 2x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$. Теперь раскроем косинус двойного угла через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставляем: $1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$, единицы съедают друг друга: $-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$. Умножим на $-1$ и вынесем общий множитель: $\sin x\,(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первый случай: $\sin x = 0$, отсюда $x = \pi n$. Второй: $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, отсюда две серии: $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Быстрая проверка для $x = -\dfrac{\pi}{4}$: $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, и $0 - \sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$ — всё сходится.
б) Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};\, 3\pi\right]$ — это примерно $[4{,}71;\, 9{,}42]$. Пройдёмся по каждой серии и посмотрим, какие корни туда попадают.
Серия $x = \pi n$: при $n = 2$ получаем $2\pi \approx 6{,}28$ — подходит; при $n = 3$ получаем $3\pi$ — это правый конец отрезка, он включён, берём. При $n = 1$ будет $\pi \approx 3{,}14$ — недолёт.
Серия $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 1$ получаем $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4} \approx 5{,}50$ — подходит; при $n = 2$ уже $\dfrac{15\pi}{4} \approx 11{,}78$ — перелёт.
Серия $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$: при $n = 1$ это $\dfrac{5\pi}{4} \approx 3{,}93$ — не долетает, при $n = 2$ это $\dfrac{13\pi}{4} \approx 10{,}21$ — перелёт. Из этой серии ничего.
Итого на отрезке три корня: $\dfrac{7\pi}{4}$, $2\pi$ и $3\pi$. Проверим граничный: $\cos 6\pi - \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+3\pi\right) - 1 = 1 - \sqrt{2}\cdot 0 - 1 = 0$ — всё сходится.