Перед нами произведение двух множителей, поэтому производную считаем по правилу произведения. Множитель e^{x-5} при дифференцировании не меняется, а (x+5) даёт единицу.

Получаем: y' = 1\cdot e^{x-5} + (x+5)\cdot e^{x-5} = e^{x-5}(x+6).

Приравниваем к нулю: e^{x-5}(x+6) = 0. Экспонента всегда положительна и нулём не бывает, поэтому обнуляется только скобка: x + 6 = 0, откуда x = -6.

Знак производной задаёт именно скобка (x+6), ведь экспонента всегда со знаком «плюс». Левее -6 скобка отрицательна (функция убывает), правее — положительна (функция растёт). Спуск сменяется подъёмом, значит в точке x = -6 минимум.

Значит, точка минимума — это x = -6.