Сначала упростим: \ln(x+9)^5 = 5\ln(x+9), поэтому функция превращается в y = 5\ln(x+9) - 5x.

Под логарифмом должно быть положительное число: x + 9 > 0, то есть x > -9. Отрезок [-8{,}5;\ 0] целиком правее, значит всё определено.

Наибольшее значение ищем через производную. Считаем: y' = \dfrac{5}{x+9} - 5.

Приравниваем к нулю: \dfrac{5}{x+9} - 5 = 0, значит \dfrac{5}{x+9} = 5, откуда x + 9 = 1 и x = -8. Точка лежит внутри отрезка.

Смотрим на знаки: левее -8 производная положительная (функция растёт), правее — отрицательная (функция убывает). Подъём сменяется спуском — значит, в точке x = -8 максимум, здесь и самое большое значение.

Подставляем: y(-8) = 5\ln(-8+9) - 5\cdot(-8) = 5\ln 1 + 40 = 0 + 40 = 40.

Значит, наибольшее значение функции равно 40.