Начнём с упрощения: степень из-под логарифма выносится вперёд, поэтому \ln(x+5)^9 = 9\ln(x+5), и функция принимает вид y = 9x - 9\ln(x+5).

Логарифм требует положительного аргумента, значит x + 5 > 0, то есть x > -5. Весь отрезок [-4{,}5;\ 0] лежит правее, так что всё определено.

Наименьшее значение подскажет производная — она ловит точку разворота. Находим: y' = 9 - \dfrac{9}{x+5}.

Приравниваем к нулю: 9 - \dfrac{9}{x+5} = 0, отсюда \dfrac{9}{x+5} = 9, значит x + 5 = 1 и x = -4. Эта точка попадает в отрезок.

Проверим знаки: левее -4 производная отрицательная (функция убывает), правее — положительная (функция растёт). Спуск сменяется подъёмом, поэтому в точке x = -4 минимум — здесь и самое маленькое значение.

Подставляем: y(-4) = 9\cdot(-4) - 9\ln(-4+5) = -36 - 9\ln 1 = -36 - 0 = -36.

Значит, наименьшее значение функции равно -36.