Найдите наименьшее значение функции y равно 9x минус 9 ln левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка плюс 7 на отрезке левая квадратная скобка минус 10, 5; 0 правая квадратная скобка .

Задание 12 ЕГЭ по математике: Найдите наименьшее значение функции y равно 9x минус 9 ln левая…

№2. Задание 12

ID: 00022137

Найдите наименьшее значение функции

y = 9x - 9\ln(x + 11) + 7

на отрезке

[-10{,}5; 0]

Решение

ОДЗ: $x + 11 > 0$ , то есть $x > -11$ — отрезок $[-10{,}5; 0]$ целиком внутри.

Производная: $y' = 9 - \dfrac{9}{x+11}$ .

Нуль производной: $\dfrac{9}{x+11} = 9$ , отсюда $x + 11 = 1$ и $x = -10$ .

Как дробь: $y' = 9\cdot\dfrac{x + 10}{x+11}$ . До $x = -10$ производная отрицательна (функция падает), после — положительна (растёт). Смена «вниз-вверх» — это минимум, и точка $x = -10$ входит в отрезок.

Подставляем, помня, что $\ln 1 = 0$ : $y(-10) = 9\cdot(-10) - 9\ln(1) + 7 = -90 - 0 + 7 = -83$ .

Ответ

-83