Задание 11 ЕГЭ по математике №00022044

Смешивают два раствора кислоты — 45% и 97% — и что-то добавляют. В первом опыте долили 10 кг чистой воды и вышел 62% раствор; во втором вместо воды долили 10 кг 50% раствора и вышел 72%. Масса всей смеси в обоих случаях одинаковая, ведь и там и там добавили ровно 10 кг. Кислота складывается — на этом и построим.

Пусть $x$ — масса 45% раствора, $y$ — масса 97% раствора (в килограммах). В обоих опытах общая масса смеси $x + y + 10$.

Кислоты в исходных растворах $0{,}45x + 0{,}97y$. В первом опыте вода кислоты не добавляет, крепость 62%: $0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62(x + y + 10)$.

Во втором опыте добавили ещё $0{,}5 \cdot 10 = 5$ кг кислоты, крепость 72%: $0{,}45x + 0{,}97y + 5 = 0{,}72(x + y + 10)$.

Левые части почти одинаковы, поэтому вычтем первое уравнение из второго — неизвестные $x$ и $y$ уйдут: $5 = 0{,}72(x+y+10) - 0{,}62(x+y+10)$, то есть $5 = 0{,}1(x + y + 10)$, откуда $x + y + 10 = 50$ и $x + y = 40$.

Теперь из первого уравнения $0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62 \cdot 50 = 31$. Подставим $y = 40 - x$: $0{,}45x + 0{,}97(40 - x) = 31$, то есть $0{,}45x + 38{,}8 - 0{,}97x = 31$, значит $-0{,}52x = -7{,}8$ и $x = 15$.

Проверим: тогда $y = 25$, кислоты $0{,}45 \cdot 15 + 0{,}97 \cdot 25 = 6{,}75 + 24{,}25 = 31$ кг, а вся смесь $15 + 25 + 10 = 50$ кг, доля $\dfrac{31}{50} = 0{,}62$ — те самые 62%. Значит, 45% раствора взяли 15 кг.