Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону фи равно омегаt плюс дробь: числитель: бетаt в квадрате, знаменатель: 2 конец дроби , где t — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, омега равно 15 град/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а бета равно 6 град/мин в квадрате — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки фи достиг 2250 градусов. Ответ дайте в минутах.

Задание 9 ЕГЭ по математике: Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая…

№2. Задание 9

ID: 00022032

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

\varphi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2}

, где

t

— время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки,

\omega = 15

град/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а

\beta = 6

град/мин

^2

— угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки

\varphi

достиг 2250 градусов. Ответ дайте в минутах.

Решение

Угол намотки задан формулой $\varphi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2}$ — подставим в неё числа из условия и найдём время.

Начальная угловая скорость $\omega = 15$ , угловое ускорение $\beta = 6$ , а нужный угол $\varphi = 2250$ . Ставим их в формулу: $15t + \dfrac{6t^2}{2} = 2250$ .

Половина от $6t^2$ — это $3t^2$ , значит $3t^2 + 15t - 2250 = 0$ . Разделим всё на 3, чтобы числа стали меньше: $t^2 + 5t - 750 = 0$ .

Дискриминант $D = 5^2 + 4\cdot 750 = 25 + 3000 = 3025$ , и $\sqrt{3025} = 55$ .

Положительный корень $t = \dfrac{-5 + 55}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ минут. Проверим: $15\cdot 25 + 3\cdot 25^2 = 375 + 1875 = 2250$ градусов — совпало.