В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается по закону m равно m индекс 0 умножить на 2 в степени минус тау дробная черта T, где m индекс 0 — начальная масса изотопа (в мг), тау — время, прошедшее от начального момента (в мин), T — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Задание 9 ЕГЭ по математике №00022026

№2. Задание 9

ID: 00022026

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса

$m$

(в мг) уменьшается по закону

m=m_0\cdot2^{-\tau/T}

, где

$m_0$

— начальная масса изотопа (в мг),

\tau

— время, прошедшее от начального момента (в мин),

$T$

— период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа

$20$

мг. Период его полураспада составляет

$10$

минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна

$5$

мг.

Источник: ФИПИ

Решение

Масса падает вдвое за каждый период полураспада, а нужно время — подставляю числа и ловлю показатель у двойки.

Пишу закон с данными: $m=m_0\cdot2^{-\tau/T}$ , значит $5=20\cdot2^{-\tau/10}$ .

Делю на начальную массу: $2^{-\tau/10}=\dfrac{5}{20}=\dfrac14$ .

Записываю $\dfrac14=2^{-2}$ и приравниваю показатели: $-\dfrac{\tau}{10}=-2$ , отсюда $\tau=20$ .

Проверю: за $$20$$ минут при периоде $$10$$ минут проходит два полураспада, масса делится на $$4$$ : $$20:4=5$$ мг — верно, поэтому искомое время равно $$20$$ минутам.

Ответ

Другие задания по теме «Линейные уравнения и неравенства» (8)