В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается по закону m равно m индекс 0 умножить на 2 в степени минус тау дробная черта T, где m индекс 0 — начальная масса изотопа (в мг), тау — время, прошедшее от начального момента (в мин), T — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Задание 10 ЕГЭ по математике №00022025

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Линейные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00022025

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса

$m$

(в мг) уменьшается по закону

m=m_0\cdot2^{-\tau/T}

, где

$m_0$

— начальная масса изотопа (в мг),

\tau

— время, прошедшее от начального момента (в мин),

$T$

— период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа

$100$

мг. Период его полураспада составляет

$2$

минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна

$12{,}5$

мг.

Источник: ФИПИ

Решение

Масса убывает в два раза каждый период, а найти нужно время — подставляю числа и ищу показатель у двойки.

Пишу закон с данными: $m=m_0\cdot2^{-\tau/T}$ , значит $12{,}5=100\cdot2^{-\tau/2}$ .

Делю на начальную массу, чтобы осталась степень двойки: $2^{-\tau/2}=\dfrac{12{,}5}{100}=\dfrac18$ .

Замечаю, что $\dfrac18=2^{-3}$ , поэтому показатели равны: $-\dfrac{\tau}{2}=-3$ , отсюда $\tau=6$ .

Проверю: за $$6$$ минут при периоде $$2$$ минуты проходит три полураспада, масса делится на $$8$$ : $$100:8=12{,}5$$ мг — верно, поэтому искомое время равно $$6$$ минутам.

Ответ

Видеоразбор

Другие задания по теме «Линейные уравнения и неравенства» (8)