Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому P равно сигмаST в степени 4 , где P — мощность излучения звезды (в Вт), сигма равно 5, 7 умножить на 10 в степени минус 8 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в м в квадрате ), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна дробь: числитель: 1, знаменатель: 2401 конец дроби умножить на 10 в степени 22 м в квадрате , а мощность её излучения равна 5, 7 умножить на 10 в степени 26 Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Задание 9 ЕГЭ по математике: Для определения эффективной температуры звёзд используют закон…

№2. Задание 9

ID: 00022020

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому

P = \sigma S T^4

, где

P

— мощность излучения звезды (в Вт),

\sigma = 5{,}7\cdot 10^{-8}\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}

— постоянная,

S

— площадь поверхности звезды (в м

^2

), а

T

— температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна

\dfrac{1}{2401}\cdot 10^{22}

^2

, а мощность её излучения равна

5{,}7\cdot 10^{26}

Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

Температура $T$ стоит в четвёртой степени, поэтому сначала выразим $T^4$ из формулы $P = \sigma S T^4$ , а потом извлечём корень четвёртой степени.

Делим мощность на два множителя: $T^4 = \dfrac{P}{\sigma S}$ .

Подставляем $P = 5{,}7\cdot 10^{26}$ , $\sigma = 5{,}7\cdot 10^{-8}$ и $S = \dfrac{1}{2401}\cdot 10^{22}$ . Множители $5{,}7$ сверху и снизу сокращаются, степени десятки в знаменателе объединяются как $10^{-8}\cdot 10^{22} = 10^{14}$ , а дробь $\frac{1}{2401}$ переворачивается в множитель $2401$ : $T^4 = \dfrac{5{,}7\cdot 10^{26}}{5{,}7\cdot 10^{-8}\cdot \frac{1}{2401}\cdot 10^{22}} = 2401\cdot 10^{26-14} = 2401\cdot 10^{12}$ .

Осталось извлечь корень четвёртой степени. Заметим, что $2401 = 7^4$ , а $10^{12} = (10^3)^4$ , поэтому $T = \sqrt[4]{7^4\cdot (10^3)^4} = 7\cdot 10^3 = 7000$ .

Значит температура звезды равна $7000$ кельвинов.

Ответ

7000