Вода вытекает, пока её высота положительна, и останавливается в момент, когда столб опускается до нуля. Поэтому ищем наименьший корень уравнения H=0.

Высота задаётся законом H=H_0+bt+at^2. Подставим H_0=\dfrac{5}{8} м, b=-\dfrac{1}{3} м/мин, a=\dfrac{1}{30} м/мин^2: \dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{30}t^2=0.

Умножим уравнение на 120, чтобы избавиться от дробей: 75-40t+4t^2=0, то есть 4t^2-40t+75=0.

Решим: t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1200}}{8}=\dfrac{40\pm 20}{8}, откуда t=2{,}5 или t=7{,}5. До нуля вода опускается в первый такой момент, поэтому берём t=2{,}5 (мин).

Проверим по уравнению 4t^2-40t+75: при t=2{,}5 получаем 4\cdot 6{,}25-40\cdot 2{,}5+75=25-100+75=0 — верно. Значит, вода вытекает 2{,}5 минуты.