В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H равно H индекс 0 плюс bt плюс at в квадрате, где H — высота столба воды в метрах, H индекс 0 равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби м — начальный уровень воды, a равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби м/мин в квадрате и b равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Задание 9 ЕГЭ по математике №00022010

№2. Задание 9

ID: 00022010

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону

$H=H_0+bt+at^2$

, где

$H$

— высота столба воды в метрах,

H_0=\dfrac{5}{8}

м — начальный уровень воды,

a=\dfrac{1}{30}

м/мин

$^2$

b=-\dfrac{1}{3}

м/мин — постоянные,

$t$

— время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Источник: ФИПИ

Решение

Вода вытекает, пока её высота положительна, и останавливается в момент, когда столб опускается до нуля. Поэтому ищем наименьший корень уравнения $$H=0$$ .

Высота задаётся законом $$H=H_0+bt+at^2$$ . Подставим $H_0=\dfrac{5}{8}$ м, $b=-\dfrac{1}{3}$ м/мин, $a=\dfrac{1}{30}$ м/мин $$^2$$ : $\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{30}t^2=0$ .

Умножим уравнение на $$120$$ , чтобы избавиться от дробей: $$75-40t+4t^2=0$$ , то есть $$4t^2-40t+75=0$$ .

Решим: $t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1200}}{8}=\dfrac{40\pm 20}{8}$ , откуда $$t=2{,}5$$ или $$t=7{,}5$$ . До нуля вода опускается в первый такой момент, поэтому берём $$t=2{,}5$$ (мин).

Проверим по уравнению $$4t^2-40t+75$$ : при $$t=2{,}5$$ получаем $4\cdot 6{,}25-40\cdot 2{,}5+75=25-100+75=0$ — верно. Значит, вода вытекает $$2{,}5$$ минуты.

Ответ

2,5

Другие задания по теме «Линейные уравнения и неравенства» (8)