Задание 10 ЕГЭ по математике №00022010

Вода вытекает, пока её высота положительна, и останавливается в момент, когда столб опускается до нуля. Поэтому ищем наименьший корень уравнения $H=0$.

Высота задаётся законом $H=H_0+bt+at^2$. Подставим $H_0=\dfrac{5}{8}$ м, $b=-\dfrac{1}{3}$ м/мин, $a=\dfrac{1}{30}$ м/мин$^2$: $\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{3}t+\dfrac{1}{30}t^2=0$.

Умножим уравнение на $120$, чтобы избавиться от дробей: $75-40t+4t^2=0$, то есть $4t^2-40t+75=0$.

Решим: $t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1200}}{8}=\dfrac{40\pm 20}{8}$, откуда $t=2{,}5$ или $t=7{,}5$. До нуля вода опускается в первый такой момент, поэтому берём $t=2{,}5$ (мин).

Проверим по уравнению $4t^2-40t+75$: при $t=2{,}5$ получаем $4\cdot 6{,}25-40\cdot 2{,}5+75=25-100+75=0$ — верно. Значит, вода вытекает $2{,}5$ минуты.