Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00014466

Разберёмся, что на столе. Всего $800$ монет: $N$ монет по $2$ рубля и $(800-N)$ монет по $5$ рублей, где $N$ — целое от $1$ до $799$.

Найдём общую сумму всех монет, сложив стоимость двухрублёвых и пятирублёвых.

$S=2N+5(800-N)=4000-3N.$

Теперь разберём условие «любые $300$ монет дают сумму не меньше четверти общей суммы». Слово «любые» значит, что неравенство должно выполняться для каждого набора из $300$ монет. Поэтому достаточно проверить его для самого невыгодного набора — с наименьшей суммой. Наименьшая сумма выходит, когда в набор идут в первую очередь дешёвые двухрублёвые монеты, а пятирублёвыми добираем лишь при их нехватке. Это и есть «худший случай».

Запишем минимальную сумму $300$ монет. Если двухрублёвых хотя бы $300$, берём $300$ двушек; если меньше — все $N$ двушек плюс добор пятёрками.

$M_{\min}=\begin{cases}2\cdot300=600,&N\geqslant300,\\2N+5(300-N)=1500-3N,&N\lt 300.\end{cases}$

Условие задачи: минимальная сумма не меньше четверти общей суммы.

$M_{\min}\geqslant\dfrac{S}{4}=\dfrac{4000-3N}{4}.$

Пункт а) Может ли $N=200$?

Определим случай: так как $200\lt 300$, работает нижняя строчка, минимальная сумма равна $1500-3N$.

Подставим $N=200$ в минимальную сумму $300$ монет.

$M_{\min}=1500-3\cdot200=1500-600=900.$

Посчитаем четверть общей суммы при $N=200$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{4000-3\cdot200}{4}=\dfrac{4000-600}{4}=\dfrac{3400}{4}=850.$

Сравним: минимальная сумма должна быть не меньше четверти.

$900\geqslant850.$

Неравенство верное, условие выполняется. Вывод по пункту а): да, может.

Пункт б) Может ли $N=400$?

Определим случай: так как $400\geqslant300$, работает верхняя строчка, минимальная сумма равна $600$ (берём $300$ двухрублёвых монет).

Посчитаем четверть общей суммы при $N=400$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{4000-3\cdot400}{4}=\dfrac{4000-1200}{4}=\dfrac{2800}{4}=700.$

Сравним минимальную сумму с четвертью.

$600\geqslant700.$

Это неверно: $600$ меньше, чем $700$. Значит, нашлись $300$ монет (триста двушек) с суммой меньше четверти, условие нарушено. Вывод по пункту б): нет, не может.

Пункт в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Решим неравенство $M_{\min}\geqslant\dfrac{4000-3N}{4}$ в каждой зоне отдельно.

Первая зона: $N\geqslant300$. Минимальная сумма равна $600$, подставим в условие.

$600\geqslant\dfrac{4000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$.

$2400\geqslant4000-3N.$

Перенесём слагаемые и выразим $N$.

$3N\geqslant1600.$

Разделим на $3$ и посмотрим на границу.

$N\geqslant\dfrac{1600}{3}=533{,}3\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вверх: подходят $N\geqslant534$. С учётом $N\leqslant799$ это отрезок от $534$ до $799$.

Вторая зона: $N\lt 300$. Минимальная сумма равна $1500-3N$, подставим.

$1500-3N\geqslant\dfrac{4000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$.

$6000-12N\geqslant4000-3N.$

Соберём $N$ в одной стороне, числа — в другой.

$2000\geqslant9N.$

Разделим на $9$ и посмотрим на границу.

$N\leqslant\dfrac{2000}{9}=222{,}2\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вниз: подходят $N\leqslant222$. С учётом $N\geqslant1$ это отрезок от $1$ до $222$.

Подходящие значения — объединение двух отрезков.

$N\in[1;\,222]\cup[534;\,799].$

Посчитаем количество целых чисел в каждом отрезке и сложим.

$222+(799-534+1)=222+266=488.$

Вывод по пункту в): $488$ различных значений.

Проверка. Проверим границы. При $N=222$ (второй случай): минимальная сумма $1500-666=834$, четверть $\dfrac{4000-666}{4}=\dfrac{3334}{4}=833{,}5$; $834\geqslant833{,}5$ — верно. При $N=223$: минимальная сумма $1500-669=831$, четверть $\dfrac{4000-669}{4}=\dfrac{3331}{4}=832{,}75$; $831\geqslant832{,}75$ — неверно, значит $223$ не подходит, граница $222$ верна. При $N=534$ (первый случай): минимальная сумма $600$, четверть $\dfrac{4000-1602}{4}=\dfrac{2398}{4}=599{,}5$; $600\geqslant599{,}5$ — верно. При $N=533$: четверть $\dfrac{4000-1599}{4}=\dfrac{2401}{4}=600{,}25$; $600\geqslant600{,}25$ — неверно, значит $533$ не подходит, граница $534$ верна. Всё сходится.

Типичная ошибка. Распространённая ошибка — проверять «любые $300$ монет» на произвольном или самом дорогом наборе. Так как условие обязано выполняться для всех наборов, всё решает именно самый дешёвый: сначала все двухрублёвые монеты, и лишь при нехватке — пятирублёвые. Вторая ловушка — округление дробных границ: $533{,}3\ldots$ в зоне «не меньше» округляется вверх до $534$, а $222{,}2\ldots$ в зоне «не больше» — вниз до $222$; перепутанное направление округления портит ответ.