Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00014465

Разберёмся с содержимым стола. Всего на столе $1000$ монет: $N$ монет по $2$ рубля и $(1000-N)$ монет по $5$ рублей, где $N$ — целое число от $1$ до $999$.

Найдём общую сумму всех монет, сложив стоимость двухрублёвых и пятирублёвых.

$S=2N+5(1000-N)=5000-3N.$

Теперь вникнем в условие «любые $300$ монет дают сумму не меньше четверти общей суммы». Слово «любые» значит, что условие обязано держаться для каждого возможного набора из $300$ монет. А значит, его достаточно гарантировать для самого слабого набора — того, чья сумма минимальна. Самый бедный набор получается, если выбирать в первую очередь дешёвые двухрублёвые монеты, а пятирублёвыми добирать только при их нехватке. Это и есть идея «худшего случая».

Запишем минимальную сумму $300$ монет. Если двухрублёвых хотя бы $300$, берём $300$ двушек; если меньше — все $N$ двушек плюс добор пятёрками.

$M_{\min}=\begin{cases}2\cdot300=600,&N\geqslant300,\\2N+5(300-N)=1500-3N,&N\lt 300.\end{cases}$

Условие задачи: эта минимальная сумма не меньше четверти общей суммы.

$M_{\min}\geqslant\dfrac{S}{4}=\dfrac{5000-3N}{4}.$

Пункт а) Может ли $N=100$?

Определим случай: так как $100\lt 300$, работает нижняя строчка, минимальная сумма равна $1500-3N$.

Подставим $N=100$ в минимальную сумму $300$ монет.

$M_{\min}=1500-3\cdot100=1500-300=1200.$

Посчитаем четверть общей суммы при $N=100$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{5000-3\cdot100}{4}=\dfrac{5000-300}{4}=\dfrac{4700}{4}=1175.$

Сравним: минимальная сумма должна быть не меньше четверти.

$1200\geqslant1175.$

Неравенство верное, условие выполняется. Вывод по пункту а): да, может.

Пункт б) Может ли $N=500$?

Определим случай: так как $500\geqslant300$, работает верхняя строчка, минимальная сумма равна $600$ (берём $300$ двухрублёвых монет).

Посчитаем четверть общей суммы при $N=500$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{5000-3\cdot500}{4}=\dfrac{5000-1500}{4}=\dfrac{3500}{4}=875.$

Сравним минимальную сумму с четвертью.

$600\geqslant875.$

Это неверно: $600$ меньше, чем $875$. Значит, нашлись $300$ монет (триста двушек) с суммой меньше четверти, условие нарушено. Вывод по пункту б): нет, не может.

Пункт в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Решим неравенство $M_{\min}\geqslant\dfrac{5000-3N}{4}$ в каждой зоне отдельно.

Первая зона: $N\geqslant300$. Минимальная сумма равна $600$, подставим в условие.

$600\geqslant\dfrac{5000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$.

$2400\geqslant5000-3N.$

Перенесём слагаемые и выразим $N$.

$3N\geqslant2600.$

Разделим на $3$ и посмотрим на границу.

$N\geqslant\dfrac{2600}{3}=866{,}6\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вверх: подходят $N\geqslant867$. С учётом $N\leqslant999$ это отрезок от $867$ до $999$.

Вторая зона: $N\lt 300$. Минимальная сумма равна $1500-3N$, подставим.

$1500-3N\geqslant\dfrac{5000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$.

$6000-12N\geqslant5000-3N.$

Соберём $N$ в одной стороне, числа — в другой.

$1000\geqslant9N.$

Разделим на $9$ и посмотрим на границу.

$N\leqslant\dfrac{1000}{9}=111{,}1\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вниз: подходят $N\leqslant111$. С учётом $N\geqslant1$ это отрезок от $1$ до $111$.

Подходящие значения — объединение двух отрезков.

$N\in[1;\,111]\cup[867;\,999].$

Посчитаем количество целых чисел в каждом отрезке и сложим.

$111+(999-867+1)=111+133=244.$

Вывод по пункту в): $244$ различных значения.

Проверка. Проверим границы. При $N=111$ (второй случай): минимальная сумма $1500-333=1167$, четверть $\dfrac{5000-333}{4}=\dfrac{4667}{4}=1166{,}75$; $1167\geqslant1166{,}75$ — верно. При $N=112$: минимальная сумма $1500-336=1164$, четверть $\dfrac{5000-336}{4}=\dfrac{4664}{4}=1166$; $1164\geqslant1166$ — неверно, значит $112$ не подходит, граница $111$ верна. При $N=867$ (первый случай): минимальная сумма $600$, четверть $\dfrac{5000-2601}{4}=\dfrac{2399}{4}=599{,}75$; $600\geqslant599{,}75$ — верно. При $N=866$: четверть $\dfrac{5000-2598}{4}=\dfrac{2402}{4}=600{,}5$; $600\geqslant600{,}5$ — неверно, значит $866$ не подходит, граница $867$ верна. Всё сходится.

Типичная ошибка. Главная ошибка — проверять условие «любые $300$ монет» не на самом дешёвом наборе. Поскольку условие должно выполняться для всех наборов, решающим является именно набор с наименьшей суммой: сначала все двухрублёвые монеты, и лишь при их нехватке — пятирублёвые. Вторая ловушка — округление: дробь $866{,}6\ldots$ в зоне «не меньше» округляется вверх до $867$, а $111{,}1\ldots$ в зоне «не больше» — вниз до $111$; ошибка в направлении округления сдвигает ответ.