Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00014464

Разберёмся, что вообще лежит на столе. На столе всего $1200$ монет: $N$ монет по $2$ рубля и $(1200-N)$ монет по $5$ рублей, причём $N$ может быть от $1$ до $1199$.

Сначала найдём общую сумму всех монет. Сложим стоимость всех двухрублёвых и всех пятирублёвых монет.

$S=2N+5(1200-N)=6000-3N.$

Теперь главное — разберёмся с условием «любые $500$ монет дают сумму не меньше четверти общей суммы». Слова «любые» означают: какие $500$ монет ни возьми, условие должно выполняться. А раз оно должно держаться даже для самого неудачного набора, достаточно проверить только этот самый плохой случай. Самый плохой случай — когда сумма выбранных монет как можно меньше, то есть мы выбираем сначала все дешёвые двухрублёвые монеты, а если их не хватает, добираем пятирублёвыми.

Отсюда минимальная сумма $500$ монет зависит от того, хватает ли двухрублёвых. Если двухрублёвых хотя бы $500$ штук, берём $500$ двушек; если меньше — берём все $N$ двушек и добираем пятёрками.

Запишем эту минимальную сумму в двух случаях.

$M_{\min}=\begin{cases}2\cdot500=1000,&N\geqslant500,\\2N+5(500-N)=2500-3N,&N\lt 500.\end{cases}$

Условие задачи означает, что эта минимальная сумма не меньше четверти общей суммы.

$M_{\min}\geqslant\dfrac{S}{4}=\dfrac{6000-3N}{4}.$

Пункт а) Может ли $N=400$?

Проверим, попадает ли $N=400$ в первый или второй случай. Так как $400\lt 500$, работает нижняя строчка, и минимальная сумма равна $2500-3N$.

Подставим $N=400$ в минимальную сумму $500$ монет.

$M_{\min}=2500-3\cdot400=2500-1200=1300.$

Теперь посчитаем четверть общей суммы при $N=400$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{6000-3\cdot400}{4}=\dfrac{6000-1200}{4}=\dfrac{4800}{4}=1200.$

Сравним полученные числа: нужно, чтобы минимальная сумма была не меньше четверти.

$1300\geqslant1200.$

Неравенство верное, значит условие выполняется. Вывод по пункту а): да, может.

Пункт б) Может ли $N=600$?

Определим случай: так как $600\geqslant500$, работает верхняя строчка, и минимальная сумма равна $1000$ (берём $500$ двухрублёвых монет).

Посчитаем четверть общей суммы при $N=600$.

$\dfrac{S}{4}=\dfrac{6000-3\cdot600}{4}=\dfrac{6000-1800}{4}=\dfrac{4200}{4}=1050.$

Сравним минимальную сумму с четвертью.

$1000\geqslant1050.$

Это неравенство неверное: $1000$ меньше, чем $1050$. Значит, нашлись $500$ монет (пятьсот двушек) с суммой меньше четверти, и условие нарушено. Вывод по пункту б): нет, не может.

Пункт в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Решим неравенство $M_{\min}\geqslant\dfrac{6000-3N}{4}$ отдельно в каждой зоне.

Первая зона: $N\geqslant500$. Здесь минимальная сумма равна $1000$, подставим её в условие.

$1000\geqslant\dfrac{6000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$, чтобы убрать дробь.

$4000\geqslant6000-3N.$

Перенесём слагаемые и выразим $N$.

$3N\geqslant2000.$

Разделим на $3$ и посмотрим на границу.

$N\geqslant\dfrac{2000}{3}=666{,}6\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вверх: подходят $N\geqslant667$. С учётом верхней границы $N\leqslant1199$ это даёт отрезок от $667$ до $1199$.

Вторая зона: $N\lt 500$. Здесь минимальная сумма равна $2500-3N$, подставим.

$2500-3N\geqslant\dfrac{6000-3N}{4}.$

Умножим обе части на $4$.

$10000-12N\geqslant6000-3N.$

Соберём все $N$ в одной стороне, числа — в другой.

$4000\geqslant9N.$

Разделим на $9$ и посмотрим на границу.

$N\leqslant\dfrac{4000}{9}=444{,}4\ldots$

Так как $N$ целое, округляем вниз: подходят $N\leqslant444$. С учётом $N\geqslant1$ это отрезок от $1$ до $444$.

Итак, подходящие значения — это объединение двух отрезков.

$N\in[1;\,444]\cup[667;\,1199].$

Посчитаем количество целых чисел в каждом отрезке и сложим.

$444+(1199-667+1)=444+533=977.$

Вывод по пункту в): $977$ различных значений.

Проверка. Проверим стыки границ. При $N=444$ (второй случай): минимальная сумма $2500-3\cdot444=1168$, а четверть $\dfrac{6000-1332}{4}=\dfrac{4668}{4}=1167$; $1168\geqslant1167$ — верно. При $N=445$: минимальная сумма $2500-1335=1165$, четверть $\dfrac{6000-1335}{4}=\dfrac{4665}{4}=1166{,}25$; $1165\geqslant1166{,}25$ — неверно, значит $445$ уже не подходит, граница $444$ стоит правильно. При $N=667$ (первый случай): минимальная сумма $1000$, четверть $\dfrac{6000-2001}{4}=\dfrac{3999}{4}=999{,}75$; $1000\geqslant999{,}75$ — верно. При $N=666$: четверть $\dfrac{6000-1998}{4}=\dfrac{4002}{4}=1000{,}5$; $1000\geqslant1000{,}5$ — неверно, значит $666$ не подходит, граница $667$ стоит правильно. Всё сходится.

Типичная ошибка. Самая частая ошибка — брать для проверки «любых $500$ монет» случайный или, наоборот, самый дорогой набор. Условие со словом «любые» нужно проверять именно на самом дешёвом наборе: берём сначала все двухрублёвые монеты, и лишь при нехватке добираем пятирублёвыми. Вторая частая ошибка — неверное округление дробной границы: в зоне «не меньше» дробь $666{,}6\ldots$ округляется вверх до $667$, а в зоне «не больше» дробь $444{,}4\ldots$ округляется вниз до $444$; перепутать направление — потерять или добавить лишние значения.