Задание 20 ЕГЭ по математике №00014463

Введём обозначения: пусть $B$ — количество синих карточек, $R$ — количество красных. На синих стоят различные числа, кратные $5$, на красных — различные чётные числа (кратные $2$); все числа больше $-80$. Вопросы здесь — про количество красных карточек $R$.

Выпишем два факта из условия. Наибольшее число на синей карточке равно $R$, наибольшее число на красной равно $2B$.

Извлечём делимость. Наибольшее синее число равно $R$ и стоит на синей карточке, поэтому $R$ кратно $5$.

Наибольшее красное число равно $2B$ и при любом целом $B$ чётно, так что отдельного ограничения на чётность $B$ нет.

Оценим количество синих карточек. Это различные кратные $5$ в промежутке от $-80$ (не включая) до $R$. Наименьшее такое число равно $-75$, поэтому

$$B\leqslant \dfrac{R-(-75)}{5}+1=\dfrac{R}{5}+16.$$

Оценим количество красных карточек. Это различные чётные числа в промежутке от $-80$ (не включая) до $2B$. Наименьшее равно $-78$, поэтому

$$R\leqslant \dfrac{2B-(-78)}{2}+1=B+40.$$

Пункт а). Может ли $R=5$? По делимости $R$ должно быть кратно $5$, и $5$ этому удовлетворяет. Построим пример. Пусть красных пять, значит наибольшее синее равно $R=5$; возьмём одну синюю карточку со значением $5$, тогда $B=1$ и наибольшее красное должно равняться $2B=2$. Возьмём красные $-6,\ -4,\ -2,\ 0,\ 2$ — пять чётных чисел, наибольшее $2=2B$. Все числа больше $-80$, условия выполнены.

Вывод по пункту а): да (например, синяя $5$; красные $-6,\ -4,\ -2,\ 0,\ 2$).

Пункт б). Может ли $R=200$? Число $200$ кратно $5$, так что по делимости преграды нет — нужна оценка. Свяжем неравенства. Подставим $B\leqslant \dfrac{R}{5}+16$ в ограничение на $R$:

$$R\leqslant B+40\leqslant \dfrac{R}{5}+16+40=\dfrac{R}{5}+56.$$

Перенесём: $R-\dfrac{R}{5}\leqslant 56$, то есть $\dfrac{4R}{5}\leqslant 56$ и $R\leqslant 70$. Значит, $R=200$ невозможно.

Вывод по пункту б): нет.

Пункт в). Из той же выкладки $R\leqslant 70$. Покажем, что $R=70$ достижимо. Подставим $R=70$: с одной стороны $70\leqslant B+40$, откуда $B\geqslant 30$; с другой стороны $B\leqslant \dfrac{R}{5}+16=\dfrac{70}{5}+16=14+16=30$. Значит $B=30$.

Построим пример. Синие карточки — $B=30$ кратных $5$ с наибольшим $R=70$. Возьмём числа от $-75$ до $70$ с шагом $5$:

$$-75,\ -70,\ \ldots,\ 65,\ 70.$$

Их ровно $\dfrac{70-(-75)}{5}+1=30$ штук, все кратны $5$, все больше $-80$, наибольшее равно $70=R$.

Красные карточки — $R=70$ чётных чисел с наибольшим $2B=60$. Возьмём числа от $-78$ до $60$ с шагом $2$:

$$-78,\ -76,\ \ldots,\ 58,\ 60.$$

Их ровно $\dfrac{60-(-78)}{2}+1=70$ штук, все чётные, все больше $-80$, наибольшее равно $60=2\cdot 30=2B$.

Вывод по пункту в): наибольшее значение $R$ равно 70.

Проверка. В примере красных $70$, наибольшее синее $70$ совпадает с числом красных $R=70$; синих $30$, наибольшее красное $60$ совпадает с $2B=2\cdot 30=60$. Делимости в порядке ($R=70$ кратно $5$, $2B=60$ чётно), все числа $\gt -80$. Ответы а) да, б) нет, в) $70$ согласованы.

Типичная ошибка. При поиске максимума $R$ забывают, что $R$ ограничено не только условием $R\leqslant B+40$, но и через $B\leqslant \dfrac{R}{5}+16$: эти два неравенства нужно соединить. Без этого кажется, что $R$ можно неограниченно увеличивать. Также часто берут наименьшим чётным $-80$, хотя оно не входит (числа строго больше $-80$); правильные крайние значения — $-75$ для кратных $5$ и $-78$ для чётных.