Задание 20 ЕГЭ по математике №00014462

Введём обозначения: пусть $B$ — количество синих карточек, $R$ — количество красных. На синих стоят различные числа, кратные $5$, на красных — различные числа, кратные $3$; все числа больше $-30$.

Выпишем два факта из условия. Наибольшее число на синей карточке равно $R$, наибольшее число на красной равно $3B$.

Извлечём делимость. Наибольшее синее число равно $R$ и стоит на синей карточке, поэтому $R$ кратно $5$.

Наибольшее красное число равно $3B$ и при любом целом $B$ уже кратно $3$, так что дополнительного ограничения на $B$ отсюда не возникает.

Оценим количество синих карточек. Это различные кратные $5$ в промежутке от $-30$ (не включая) до $R$. Наименьшее такое число равно $-25$, поэтому

$$B\leqslant \dfrac{R-(-25)}{5}+1=\dfrac{R}{5}+6.$$

Оценим количество красных карточек. Это различные кратные $3$ в промежутке от $-30$ (не включая) до $3B$. Наименьшее равно $-27$, поэтому

$$R\leqslant \dfrac{3B-(-27)}{3}+1=B+10.$$

Пункт а). Может ли $B=1$? Делимость не мешает. Построим пример. Пусть синяя карточка одна со значением $5$ (тогда наибольшее синее $=5=R$, значит красных пять). Возьмём красные $-9,\ -6,\ -3,\ 0,\ 3$ — пять кратных $3$, наибольшее $3=3B=3\cdot 1$. Все числа больше $-30$, условия выполнены.

Вывод по пункту а): да (например, синяя $5$; красные $-9,\ -6,\ -3,\ 0,\ 3$).

Пункт б). Может ли $B=40$? Свяжем неравенства. Подставим $R\leqslant B+10$ в ограничение на $B$:

$$B\leqslant \dfrac{R}{5}+6\leqslant \dfrac{B+10}{5}+6.$$

Умножим на $5$: $5B\leqslant B+10+30$, то есть $4B\leqslant 40$ и $B\leqslant 10$. Значит, $B=40$ невозможно.

Вывод по пункту б): нет.

Пункт в). Из той же выкладки $B\leqslant 10$. Покажем, что $B=10$ достижимо. Подставим $B=10$: с одной стороны $10\leqslant \dfrac{R}{5}+6$, откуда $\dfrac{R}{5}\geqslant 4$ и $R\geqslant 20$; с другой стороны $R\leqslant B+10=20$. Значит $R=20$, и оно кратно $5$, как требуется.

Построим пример. Синие карточки — $10$ кратных $5$ с наибольшим $R=20$. Возьмём числа от $-25$ до $20$ с шагом $5$:

$$-25,\ -20,\ -15,\ -10,\ -5,\ 0,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20.$$

Их ровно $\dfrac{20-(-25)}{5}+1=10$ штук, все кратны $5$, все больше $-30$, наибольшее равно $20=R$.

Красные карточки — $20$ кратных $3$ с наибольшим $3B=30$. Возьмём числа от $-27$ до $30$ с шагом $3$:

$$-27,\ -24,\ \ldots,\ 27,\ 30.$$

Их ровно $\dfrac{30-(-27)}{3}+1=20$ штук, все кратны $3$, все больше $-30$, наибольшее равно $30=3\cdot 10=3B$.

Вывод по пункту в): наибольшее значение $B$ равно 10.

Проверка. В примере синих $10$, наибольшее синее $20$ совпадает с числом красных $R=20$; красных $20$, наибольшее красное $30$ совпадает с $3B=3\cdot 10=30$. Делимости в порядке ($R=20$ кратно $5$, $3B=30$ кратно $3$), все числа $\gt -30$. Ответы а) да, б) нет, в) $10$ согласованы.

Типичная ошибка. Здесь часто включают $-30$ в число допустимых значений, хотя по условию все числа строго больше $-30$. Тогда наименьшим кратным $5$ ошибочно считают $-30$, а кратным $3$ — что-то ниже $-27$, и количество карточек завышают. Правильные крайние значения — $-25$ для кратных $5$ и $-27$ для кратных $3$.