Задание 20 ЕГЭ по математике №00014461

Введём обозначения: пусть $B$ — количество синих карточек, $R$ — количество красных. На синих стоят различные числа, кратные $3$, на красных — различные чётные числа (кратные $2$); все числа больше $-36$.

Выпишем два факта из условия. Наибольшее число на синей карточке равно $R$, наибольшее число на красной равно $2B$.

Извлечём делимость. Наибольшее синее число равно $R$ и стоит на синей карточке, поэтому $R$ кратно $3$.

Наибольшее красное число равно $2B$; оно автоматически чётно при любом целом $B$, так что дополнительного ограничения на чётность $B$ здесь нет.

Оценим количество синих карточек. Это различные кратные $3$ в промежутке от $-36$ (не включая) до $R$. Наименьшее такое число равно $-33$, поэтому от $-33$ до $R$ помещается не больше, чем

$$B\leqslant \dfrac{R-(-33)}{3}+1=\dfrac{R}{3}+12.$$

Оценим количество красных карточек. Это различные чётные числа в промежутке от $-36$ (не включая) до $2B$. Наименьшее равно $-34$, поэтому

$$R\leqslant \dfrac{2B-(-34)}{2}+1=B+18.$$

Пункт а). Может ли $B=1$? Делимость этому не мешает. Построим пример. Пусть синяя карточка одна со значением $3$ (тогда наибольшее синее $=3=R$, значит красных три). Возьмём красные $-2,\ 0,\ 2$ — три чётных числа, наибольшее $2=2B=2\cdot 1$. Все числа больше $-36$, условия выполнены.

Вывод по пункту а): да (например, синяя $3$; красные $-2,\ 0,\ 2$).

Пункт б). Может ли $B=50$? Свяжем два неравенства. Подставим $R\leqslant B+18$ в ограничение на $B$:

$$B\leqslant \dfrac{R}{3}+12\leqslant \dfrac{B+18}{3}+12.$$

Умножим на $3$: $3B\leqslant B+18+36$, то есть $2B\leqslant 54$ и $B\leqslant 27$. Значит, $B=50$ невозможно.

Вывод по пункту б): нет.

Пункт в). Из той же выкладки $B\leqslant 27$. Покажем, что $B=27$ достижимо, и подберём $R$. Подставим $B=27$ в неравенства: с одной стороны $27\leqslant \dfrac{R}{3}+12$, откуда $\dfrac{R}{3}\geqslant 15$ и $R\geqslant 45$; с другой стороны $R\leqslant B+18=45$. Значит $R=45$, и оно кратно $3$, как и требовалось.

Построим пример. Синие карточки — $27$ кратных $3$ с наибольшим $R=45$. Возьмём числа от $-33$ до $45$ с шагом $3$:

$$-33,\ -30,\ -27,\ \ldots,\ 42,\ 45.$$

Их ровно $\dfrac{45-(-33)}{3}+1=27$ штук, все кратны $3$, все больше $-36$, наибольшее равно $45=R$.

Красные карточки — $45$ чётных чисел с наибольшим $2B=54$. Возьмём числа от $-34$ до $54$ с шагом $2$:

$$-34,\ -32,\ \ldots,\ 52,\ 54.$$

Их ровно $\dfrac{54-(-34)}{2}+1=45$ штук, все чётные, все больше $-36$, наибольшее равно $54=2\cdot 27=2B$.

Вывод по пункту в): наибольшее значение $B$ равно 27.

Проверка. В примере синих $27$, наибольшее синее $45$ совпадает с числом красных $R=45$; красных $45$, наибольшее красное $54$ совпадает с $2B=2\cdot 27=54$. Делимости в порядке ($R=45$ кратно $3$, $2B=54$ чётно), все числа $\gt -36$. Ответы а) да, б) нет, в) $27$ согласованы.

Типичная ошибка. Многие в пункте в) сначала берут «круглое» $R$ и проверяют только одно неравенство. Например, при $R=30$ выполнено $R\leqslant B+18$, но нарушается $B\leqslant \dfrac{R}{3}+12=22$. Нужно учитывать оба ограничения одновременно и помнить, что $R$ кратно $3$; тогда оптимум $R=45$ находится строго. Ещё одна ошибка — считать наименьшим чётным $-36$, хотя оно не входит (наименьшее чётное больше $-36$ — это $-34$).