Задание 20 ЕГЭ по математике №00014460

Введём обозначения: пусть $B$ — количество синих карточек, $R$ — количество красных. На синих карточках стоят различные числа, кратные $5$, на красных — различные числа, кратные $8$; все числа больше $-32$.

Соберём два ключевых факта из условия. Наибольшее число на синей карточке равно $R$, а наибольшее число на красной равно $3B$.

Извлечём из них делимость. Раз наибольшее синее число равно $R$ и при этом оно стоит на синей карточке, то оно кратно $5$, поэтому $R$ кратно $5$.

Аналогично наибольшее красное число равно $3B$ и кратно $8$. Числа $3$ и $8$ взаимно простые, поэтому из кратности $3B$ восьми следует, что само $B$ кратно $8$.

Теперь оценим, сколько карточек вообще может поместиться. Синие числа — это различные кратные $5$ в промежутке от $-32$ (не включая) до $R$ (включая). Наименьшее такое число равно $-30$, поэтому, считая по шагам $-30,-25,\ldots,R$, получаем оценку их количества.

Запишем это количество формулой:

$$B\leqslant \dfrac{R-(-30)}{5}+1=\dfrac{R}{5}+7.$$

Точно так же красные числа — различные кратные $8$ в промежутке от $-32$ (не включая) до $3B$. Наименьшее равно $-24$, и от него до $3B$ помещается не больше, чем

$$R\leqslant \dfrac{3B-(-24)}{8}+1=\dfrac{3B}{8}+4.$$

Пункт а). Может ли $B=1$? Мы выяснили, что $B$ обязано быть кратно $8$. Число $1$ на $8$ не делится, поэтому такое значение невозможно.

Вывод по пункту а): нет.

Пункт б). Может ли $B=40$? Здесь $40$ делится на $8$, так что по делимости преграды нет — нужна оценка. Подставим $B=40$ в неравенство для $R$:

$$R\leqslant \dfrac{3\cdot 40}{8}+4=15+4=19.$$

С другой стороны, из первого неравенства $40\leqslant \dfrac{R}{5}+7$, откуда $\dfrac{R}{5}\geqslant 33$ и $R\geqslant 165$.

Получили противоречие: одновременно $R\geqslant 165$ и $R\leqslant 19$ невозможно. Значит, $B=40$ не годится.

Вывод по пункту б): нет.

Пункт в). Найдём наибольшее $B$. Так как $B$ кратно $8$, запишем $B=8t$. Подставим в оба неравенства. Из $R\leqslant \dfrac{3B}{8}+4=3t+4$ и из $8t\leqslant \dfrac{R}{5}+7$, то есть $R\geqslant 5(8t-7)=40t-35$, получаем двойное неравенство:

$$40t-35\leqslant R\leqslant 3t+4.$$

Чтобы такое $R$ существовало, нужно $40t-35\leqslant 3t+4$, то есть $37t\leqslant 39$, откуда $t\leqslant 1$. Значит, $t=1$ и $B=8$.

Проверим, что $B=8$ достижимо. При $t=1$ имеем $5\leqslant R\leqslant 7$, а $R$ кратно $5$, поэтому $R=5$. Построим пример. Синие карточки (8 штук, кратные $5$, наибольшее равно $R=5$):

$$-30,\ -25,\ -20,\ -15,\ -10,\ -5,\ 0,\ 5.$$

Красные карточки (их должно быть $R=5$ штук, кратные $8$, наибольшее равно $3B=24$):

$$-8,\ 0,\ 8,\ 16,\ 24.$$

Здесь все числа больше $-32$, на синих ровно $8$ различных кратных $5$ с наибольшим $5=R$, на красных ровно $5$ различных кратных $8$ с наибольшим $24=3\cdot 8=3B$. Все условия выполнены.

Вывод по пункту в): наибольшее значение $B$ равно 8.

Проверка. Для примера: синих $8$ и наибольшее синее $5$ совпадает с числом красных $R=5$; красных $5$ и наибольшее красное $24$ совпадает с $3B=3\cdot 8=24$. Делимости соблюдены ($R=5$ кратно $5$, $3B=24$ кратно $8$), все числа $\gt -32$. Условия задачи выполняются, ответы а) нет, б) нет, в) $8$ согласованы.

Типичная ошибка. Часто забывают, что число $-32$ в промежуток не входит (числа строго больше $-32$), и ошибочно берут $-32$ или $-35$ как наименьшее кратное $5$ либо $-32$ как кратное $8$. Из-за этого количество карточек завышают, и оценка ломается. Правильные крайние значения — $-30$ для кратных $5$ и $-24$ для кратных $8$.