Задание 19 ЕГЭ по математике №00014459

Перед нами система: показательно-модульное уравнение и уравнение окружности. Решать её «в лоб» тяжело, поэтому сначала вытащим из условия геометрию и симметрию — именно они подскажут, где вообще может прятаться единственное решение.

Второе уравнение задаёт окружность единичного радиуса с центром в начале координат:

$$x^{2}+y^{2}=1.$$

Из него сразу следует ограничение на $x$: точка лежит на окружности, поэтому абсцисса не выходит за пределы отрезка

$$x\in[-1;1].$$

Теперь приглядимся к первому уравнению. Соберём в нём всё, что зависит от $x$, и посмотрим, как именно оно зависит:

$$5\cdot2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^{2}-a.$$

Ключевое наблюдение: $x$ входит сюда только через $|x|$ и через $x^{2}$. А и модуль, и квадрат не различают знак: $|{-x}|=|x|$ и $(-x)^{2}=x^{2}$. Значит, если в уравнении заменить $x$ на $-x$, оно не изменится — переменная $y$ при этом остаётся прежней. Говорят, что уравнение чётно по $x$.

Отсюда вытекает симметрия всей системы. Пусть пара $(x_{0};y_{0})$ — решение. Заменим $x_{0}$ на $-x_{0}$: первое уравнение не изменилось (оно чётно по $x$), а второе тоже выдержит замену, ведь $(-x_{0})^{2}+y_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$. Значит, и пара $(-x_{0};y_{0})$ — тоже решение. Решения идут парами-двойниками, симметричными относительно оси $Oy$.

Сделаем вывод о единственности. Пара $(x_{0};y_{0})$ и её зеркальный двойник $(-x_{0};y_{0})$ — это два разных решения всегда, когда $x_{0}\neq0$. Чтобы решение было только одно, двойник обязан совпасть с самим собой, а это возможно лишь при

$$x_{0}=-x_{0}\;\Rightarrow\;x_{0}=0.$$

Поэтому единственное решение, если оно есть, может находиться только на оси $Oy$, то есть при $x=0$. Это необходимое условие — отсюда и будем добывать кандидатов на $a$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение. Тогда $2^{|0|}=2^{0}=1$, а слагаемые с модулем и квадратом обнуляются:

$$5\cdot1+6\cdot0+7=5y+6\cdot0-a\;\Rightarrow\;12=5y-a.$$

Выразим отсюда $y$, чтобы связать его с параметром:

$$y=\dfrac{12+a}{5}.$$

Но точка с $x=0$ обязана лежать и на окружности. Подставим $x=0$ во второе уравнение:

$$0+y^{2}=1\;\Rightarrow\;y=\pm1.$$

Значит, ордината найденной точки должна равняться либо $1$, либо $-1$. Это даёт два уравнения на параметр $a$.

Первый кандидат — когда точка верхняя, $(0;1)$:

$$\dfrac{12+a}{5}=1\;\Rightarrow\;12+a=5\;\Rightarrow\;a=-7.$$

Второй кандидат — когда точка нижняя, $(0;-1)$:

$$\dfrac{12+a}{5}=-1\;\Rightarrow\;12+a=-5\;\Rightarrow\;a=-17.$$

Условие $x=0$ было лишь необходимым: оно гарантирует, что на оси $Oy$ решение есть, но не запрещает другим решениям возникнуть в стороне, при $x\neq0$. А любое решение с $x\neq0$ немедленно приносит и своего двойника, то есть сразу два лишних. Поэтому каждого кандидата нужно проверить: действительно ли при нём решение остаётся единственным.

Чтобы сравнивать две части на окружности, удобно переписать первое уравнение, выразив $y$ как функцию от $x$:

$$5y=5\cdot2^{|x|}+6|x|+7-6x^{2}+a\;\Rightarrow\;y=2^{|x|}+\dfrac{6|x|+7-6x^{2}+a}{5}.$$

Проверка $a=-7$. Подставим $a=-7$ в выражение для $y$: $y=2^{|x|}+\dfrac{6|x|-6x^{2}}{5}=2^{|x|}+\dfrac{6}{5}\,|x|\,(1-|x|)$. На окружности $|x|\leqslant 1$, поэтому второе слагаемое неотрицательно: в нём перемножаются неотрицательные числа $|x|$ и $1-|x|$. Первое слагаемое $2^{|x|}\geqslant 2^{0}=1$, причём равенство возможно только при $x=0$. Значит, из первого уравнения следует $y\geqslant 1$, и $y=1$ только при $x=0$. А на окружности, наоборот, $y\leqslant 1$. Оба условия выполняются одновременно лишь при $x=0$, $y=1$. Итак, при $a=-7$ решение единственное — пара $(0;1)$. Кандидат подходит.

Проверка $a=-17$. Здесь при $x=0$ получаем $y=-1$, точка $(0;-1)$ — решение есть. Но проверим края: при $x=\pm1$ первое уравнение даёт $y=2+\dfrac{6+7-6-17}{5}=2+\dfrac{-10}{5}=2-2=0$. То есть точки $(1;0)$ и $(-1;0)$ тоже удовлетворяют первому уравнению, и обе лежат на окружности ($1+0=1$). Получаем как минимум три решения: $(0;-1)$, $(1;0)$, $(-1;0)$ — единственности нет. Кандидат $a=-17$ не подходит.

Из двух кандидатов прошёл только один.

$$a=-7.$$

Проверка. При $a=-7$ ось симметрии даёт точку $(0;1)$, а во всех остальных точках окружности первое уравнение требует $y\gt 1$, чего на окружности не бывает, — решение единственное. При $a=-17$ помимо $(0;-1)$ появляются симметричная пара $(\pm1;0)$, то есть решений несколько, что нарушает требование. Значит, окончательно подходит только $a=-7$.

Типичная ошибка. Главная ловушка — остановиться на двух кандидатах $a=-7$ и $a=-17$ и записать их оба в ответ. Условие $x=0$ только необходимое: оно говорит, что без точки на оси $Oy$ единственности не будет, но само по себе не гарантирует, что других решений нет. Обязательно нужно подставить каждого кандидата обратно и проверить, не появляются ли лишние решения при $x\neq0$ (а они тут же приходят парами из-за симметрии). Вторая частая ошибка — потерять ограничение $x\in[-1;1]$ из окружности и пытаться анализировать первое уравнение на всей прямой.