Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00014457

Параметр $a$ входит в уравнение во второй степени, а переменная $x$ — в четвёртой. Решать относительно $x$ неудобно, поэтому рассмотрим уравнение как квадратное относительно $a$, а $x$ временно будем считать известным числом.

Запишем уравнение по убыванию степеней $a$.

$$(x+1)\,a^{2}+(x^{3}+2x^{2}+x)\,a+(x^{4}+2x^{3}-2x-1)=0.$$

Чтобы увидеть множители, заранее разложим по $x$ свободный член и коэффициент при $a$.

Коэффициент при $a$ легко собирается, вынесем $x$ и свернём полный квадрат:

$$x^{3}+2x^{2}+x=x(x^{2}+2x+1)=x(x+1)^{2}.$$

Свободный член раскладывается так (можно проверить, что $x=-1$ — его корень кратности три, а $x=1$ — простой корень):

$$x^{4}+2x^{3}-2x-1=(x+1)^{3}(x-1).$$

Подставим разложения и вынесем общий множитель $(x+1)$, который входит в каждое слагаемое.

$$(x+1)\Big[a^{2}+x(x+1)\,a+(x+1)^{2}(x-1)\Big]=0.$$

Скобку разложим как квадратный трёхчлен по $a$. Его корни $a=-(x+1)$ и $a=-(x^{2}-1)$, то есть $a=-x-1$ и $a=1-x^{2}$. Проверим по Виета: сумма корней $-(x+1)-(x^{2}-1)=-x-x^{2}=-x(x+1)$ — совпадает со средним коэффициентом со знаком минус; произведение $(x+1)(x^{2}-1)=(x+1)^{2}(x-1)$ — совпадает со свободным членом. Значит, скобка равна $(a+x+1)(a+x^{2}-1)$.

Соберём полностью разложенное уравнение.

$$(x+1)\,(a+x+1)\,(a+x^{2}-1)=0.$$

Приравняем каждый множитель к нулю и выпишем корни по $x$.

Первый множитель даёт корень, присутствующий всегда:

$$x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1.$$

Второй множитель всегда даёт ровно один корень, линейно зависящий от $a$:

$$a+x+1=0\ \Rightarrow\ x=-a-1.$$

Третий множитель — это уравнение $x^{2}=1-a$; число его корней зависит от знака правой части, и это будет главный переключатель:

$$a+x^{2}-1=0\ \Rightarrow\ x^{2}=1-a.$$

Нужно ровно $2$ различных корня. Поскольку число корней уравнения $x^{2}=1-a$ зависит от знака $1-a$, разберём случаи по сравнению $a$ с $1$, аккуратно считая различные корни и следя за совпадениями.

Случай 1: $a\gt 1$. Тогда $1-a\lt 0$, и уравнение $x^{2}=1-a$ корней не имеет. Остаются $x=-1$ и $x=-a-1$. При $a\gt 1$ имеем $-a-1\lt -2$, что не равно $-1$, значит корни различны. Итого ровно $2$ корня — весь промежуток $a\gt 1$ подходит.

Случай 2: $a=1$. Уравнение $x^{2}=0$ даёт один корень $x=0$. Второй множитель даёт $x=-a-1=-2$. Вместе с постоянным $x=-1$ получаем три разных корня $\{-2;\,-1;\,0\}$. Это $3$ корня — не подходит.

Случай 3: $a\lt 1$. Уравнение $x^{2}=1-a$ даёт два корня $x=\sqrt{1-a}$ и $x=-\sqrt{1-a}$. Вместе с $x=-1$ и $x=-a-1$ это формально четыре корня. Чтобы осталось ровно $2$, нужны склейки.

Числа $\sqrt{1-a}$ и $-\sqrt{1-a}$ при $a\lt 1$ различны — это уже два корня. Чтобы корней было ровно два, значения $x=-1$ и $x=-a-1$ не должны добавлять новых чисел: каждое из них обязано совпасть либо с $\sqrt{1-a}$, либо с $-\sqrt{1-a}$.

Число $-1$ отрицательно, поэтому совпасть оно может только с $-\sqrt{1-a}$:

$$-\sqrt{1-a}=-1\ \Rightarrow\ 1-a=1\ \Rightarrow\ a=0.$$

Проверим при $a=0$ второе значение: $-a-1=-1$, и оно тоже совпадает с $-\sqrt{1-a}=-1$. Значит, при $a=0$ различных корней ровно два: $x=-1$ и $x=1$. Значение $a=0$ подходит, а при любом другом $a\lt 1$ число $-1$ даёт третий корень.

Соберём ответ: отдельная точка $a=0$ и весь промежуток $a\gt 1$.

$$a\in\{0\}\cup(1;\,+\infty).$$

Проверка. Подставим граничную точку $a=0$ в разложение: $(x+1)(0+x+1)(0+x^{2}-1)=(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)$. Корни: $x=-1$ и $x=1$ — ровно два различных значения. Возьмём ещё точку из промежутка, например $a=2$: уравнение $x^{2}=1-2=-1$ корней не даёт, остаются $x=-1$ и $x=-a-1=-3$ — тоже ровно два корня. Ответ согласуется.

Типичная ошибка. Здесь под квадратом стоит $1-a$, поэтому корни появляются при $a\lt 1$, а исчезают при $a\gt 1$ — легко перепутать направление неравенства. Вторая ловушка — на границе $a=0$ не заметить, что сразу два значения ($-\sqrt{1-a}$ и $-a-1$) склеиваются с постоянным корнем $x=-1$, и насчитать лишние корни. Всегда проверяй границу подстановкой.