Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00014456

В этом уравнении параметр $a$ стоит во второй степени, а переменная $x$ — в четвёртой. Раскладывать по $x$ неудобно, поэтому посмотрим на уравнение как на квадратное относительно $a$, а переменную $x$ временно будем считать известным числом.

Расставим уравнение по убыванию степеней $a$, чтобы увидеть квадратный трёхчлен.

$$(x+1)\,a^{2}+(x^{3}+x+2)\,a+(-x^{4}+x^{3}+2x^{2})=0.$$

Чтобы множители стали видны, заранее разложим по $x$ свободный член и коэффициент при $a$.

Свободный член: вынесем $-x^{2}$ и разложим скобку (корни $x=2$ и $x=-1$):

$$-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=-x^{2}(x^{2}-x-2)=-x^{2}(x-2)(x+1).$$

Коэффициент при $a$ делится на $(x+1)$, потому что $x=-1$ — его корень:

$$x^{3}+x+2=(x+1)(x^{2}-x+2).$$

Подставим разложения и вынесем общий множитель $(x+1)$.

$$(x+1)\Big[a^{2}+(x^{2}-x+2)\,a-x^{2}(x-2)\Big]=0.$$

Скобку разложим как квадратный трёхчлен по $a$. Его корни $a=-x^{2}$ и $a=x-2$ (проверка по Виета: сумма $-(x^{2}-x+2)$, то есть $-x^{2}+x-2$, что верно; произведение $-x^{2}(x-2)$ — тоже верно). Значит, скобка равна $(a+x^{2})(a-x+2)$.

Соберём полностью разложенное уравнение.

$$(x+1)\,(a+x^{2})\,(a-x+2)=0.$$

Приравняем каждый множитель к нулю и распишем, какие корни по $x$ он даёт.

Первый множитель даёт корень, который присутствует всегда:

$$x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1.$$

Второй множитель — это уравнение $x^{2}=-a$; число его корней зависит от знака $a$, и это будет главный переключатель:

$$a+x^{2}=0\ \Rightarrow\ x^{2}=-a.$$

Третий множитель всегда даёт ровно один корень:

$$a-x+2=0\ \Rightarrow\ x=a+2.$$

Нужно ровно $2$ различных корня. Поскольку число корней уравнения $x^{2}=-a$ зависит от знака $a$, разберём случаи по знаку $a$, аккуратно считая различные значения $x$ и отслеживая совпадения.

Случай 1: $a\gt 0$. Тогда $-a\lt 0$, и уравнение $x^{2}=-a$ корней не имеет. Остаются $x=-1$ и $x=a+2$. Они различны, ведь $a+2\gt 2$, а это не $-1$. Итого ровно $2$ корня — весь промежуток $a\gt 0$ подходит.

Случай 2: $a=0$. Уравнение $x^{2}=0$ даёт один корень $x=0$. Третий множитель даёт $x=a+2=2$. Вместе с постоянным $x=-1$ получаем три разных корня $\{-1;\,0;\,2\}$. Это $3$ корня — не подходит.

Случай 3: $a\lt 0$. Уравнение $x^{2}=-a$ даёт два корня $x=\sqrt{-a}$ и $x=-\sqrt{-a}$. Вместе с $x=-1$ и $x=a+2$ это формально четыре корня. Чтобы осталось ровно $2$, нужны склейки совпадающих значений.

Числа $\sqrt{-a}$ и $-\sqrt{-a}$ при $a\lt 0$ различны — это уже два корня. Чтобы корней было ровно два, значения $x=-1$ и $x=a+2$ не должны добавлять новых чисел: каждое из них обязано совпасть либо с $\sqrt{-a}$, либо с $-\sqrt{-a}$.

Число $-1$ отрицательно, поэтому совпасть оно может только с $-\sqrt{-a}$:

$$-\sqrt{-a}=-1\ \Rightarrow\ -a=1\ \Rightarrow\ a=-1.$$

Проверим при $a=-1$ второе значение: $a+2=1$, и оно совпадает с $\sqrt{-a}=1$. Значит, при $a=-1$ различных корней ровно два: $x=-1$ и $x=1$. Значение $a=-1$ подходит, а при любом другом $a\lt 0$ число $-1$ даёт третий корень.

Соберём ответ: отдельная точка $a=-1$ и весь промежуток $a\gt 0$.

$$a\in\{-1\}\cup(0;\,+\infty).$$

Проверка. Подставим граничную точку $a=-1$ в разложение: $(x+1)(-1+x^{2})(-1-x+2)=(x+1)(x-1)(x+1)(1-x)$. Корни: $x=-1$ и $x=1$ — ровно два различных значения. Возьмём ещё точку из промежутка, например $a=2$: уравнение $x^{2}=-2$ корней не даёт, остаются $x=-1$ и $x=a+2=4$ — тоже ровно два корня. Ответ согласуется.

Типичная ошибка. Здесь под квадратом стоит $-a$, поэтому корни появляются при $a\lt 0$ (а не при $a\gt 0$). Частая ошибка — спутать знак и записать промежуток наоборот. Вторая ловушка — при $a\gt 0$ зря «достать» корни из $x^{2}=-a$, которых нет, и потерять подходящий промежуток. И на границе $a=-1$ обязательно проверь совпадение корней, иначе насчитаете четыре вместо двух.