Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00014455

Перед нами уравнение, где параметр $a$ стоит во второй степени, а переменная $x$ — в четвёртой. Раскладывать его по $x$ страшно. Зато по $a$ это обычное квадратное уравнение. В этом и состоит ключевая идея: смотрим на уравнение как на квадратное относительно параметра $a$, а $x$ временно считаем известным числом.

Выпишем коэффициенты при степенях $a$, чтобы увидеть квадратный трёхчлен по $a$.

$$(x-2)\,a^{2}-(x^{3}-x^{2}-4)\,a+(x^{4}-4x^{2})=0.$$

Чтобы разложить трёхчлен на множители, удобно сначала упростить свободный член и средний коэффициент: разложим их по $x$ — так множители станут видны.

Свободный член раскладываем по формуле разности и выносим общий множитель:

$$x^{4}-4x^{2}=x^{2}(x^{2}-4)=x^{2}(x-2)(x+2).$$

Коэффициент при $a$ раскладываем группировкой; легко проверить, что $x=2$ — его корень, поэтому делится на $(x-2)$:

$$x^{3}-x^{2}-4=(x-2)(x^{2}+x+2).$$

Подставим эти разложения и вынесем общий множитель $(x-2)$, который есть в каждом слагаемом.

$$(x-2)\Big[a^{2}-(x^{2}+x+2)\,a+x^{2}(x+2)\Big]=0.$$

Теперь разложим квадратный трёхчлен в скобках уже как квадратный по $a$. Его корни — это $a=x^{2}$ и $a=x+2$ (проверка: сумма корней $x^{2}+x+2$, произведение $x^{2}(x+2)$ — совпадает). Значит, скобка равна $(a-x^{2})(a-x-2)$.

Соберём всё произведение — это и есть полностью разложенное уравнение.

$$(x-2)\,(a-x^{2})\,(a-x-2)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Распишем три простых уравнения на $x$, чтобы понять, какие корни даёт каждое.

Первый множитель даёт корень, который есть всегда, при любом $a$:

$$x-2=0\ \Rightarrow\ x=2.$$

Второй множитель — это уравнение $x^{2}=a$; число его корней зависит от знака $a$, это и будет главным переключателем в задаче:

$$a-x^{2}=0\ \Rightarrow\ x^{2}=a.$$

Третий множитель всегда даёт ровно один корень, линейно зависящий от $a$:

$$a-x-2=0\ \Rightarrow\ x=a-2.$$

Нам нужно ровно $2$ различных корня. Поэтому разберём случаи по знаку $a$ (от него зависит уравнение $x^{2}=a$) и каждый раз будем считать именно различные значения $x$, следя за совпадениями.

Случай 1: $a\lt 0$. Уравнение $x^{2}=a$ корней не имеет (квадрат не бывает отрицательным). Остаются $x=2$ и $x=a-2$. Они различны, ведь $a-2\lt -2$, а это точно не $2$. Итого ровно $2$ корня — этот случай подходит целиком.

Случай 2: $a=0$. Уравнение $x^{2}=0$ даёт один корень $x=0$. Третий множитель даёт $x=a-2=-2$. Вместе с постоянным $x=2$ получаем три разных корня $\{-2;\,0;\,2\}$. Это $3$ корня — не подходит.

Случай 3: $a\gt 0$. Уравнение $x^{2}=a$ даёт два корня $x=\sqrt{a}$ и $x=-\sqrt{a}$. Вместе с $x=2$ и $x=a-2$ это формально четыре корня. Чтобы их осталось ровно $2$, должны произойти склейки: какие-то значения обязаны совпасть.

Числа $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$ при $a\gt 0$ различны — это уже два корня. Чтобы корней было ровно два, значения $x=2$ и $x=a-2$ не должны добавлять новых чисел: каждое из них обязано совпасть либо с $\sqrt{a}$, либо с $-\sqrt{a}$.

Число $2$ положительно, поэтому совпасть оно может только с $\sqrt{a}$:

$$\sqrt{a}=2\ \Rightarrow\ a=4.$$

Проверим при $a=4$ второе значение: $a-2=4-2=2$, и оно тоже совпадает с $\sqrt{a}=2$. Значит, при $a=4$ различных корней ровно два: $x=2$ и $x=-2$. Значение $a=4$ подходит, а при любом другом $a\gt 0$ число $2$ даёт третий корень.

Соберём ответ из подходящих случаев: весь промежуток $a\lt 0$ и отдельная точка $a=4$.

$$a\in(-\infty;\,0)\cup\{4\}.$$

Проверка. Возьмём граничную точку $a=4$ и подставим её прямо в разложение: $(x-2)(4-x^{2})(4-x-2)=(x-2)(2-x)(2+x)(2-x)$. Корни уравнения: $x=2$ (из первой скобки и из множителя $(2-x)$) и $x=-2$ (из $(2+x)$). Различных значений ровно два — условие выполнено. Возьмём ещё точку из промежутка, например $a=-1$: уравнение $x^{2}=-1$ корней не даёт, остаются $x=2$ и $x=a-2=-3$ — тоже ровно два корня. Ответ согласуется.

Типичная ошибка. Самая частая ловушка — при $a\lt 0$ посчитать у уравнения $x^{2}=a$ два корня по привычке «$x=\pm\sqrt{a}$». Но при отрицательном $a$ корней нет вовсе, и именно поэтому весь промежуток $a\lt 0$ попадает в ответ. Вторая ошибка — забыть про совпадение корней на границе $a=4$ и посчитать там четыре корня вместо двух; обязательно проверяй, не склеились ли значения $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$, $a-2$ и постоянный $x=2$.