Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00014454

Запишем, что дано: угол $C$ прямой, $M$ — середина гипотенузы $AB$, $N$ — середина катета $BC$, $L$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с прямой $MN$. Обозначим $\angle BAC=2\alpha$, тогда биссектриса делит его на два угла по $\alpha$.

а) Докажем, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, значит, это средняя линия треугольника $ABC$: $MN\parallel AC$ и $MN=\dfrac{AC}{2}$.

Шаг 2. Треугольник $AML$ равнобедренный. Прямые $MN$ и $AC$ параллельны, $AL$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle MLA=\angle LAC=\alpha$. Но и $\angle MAL=\alpha$ (биссектриса). В треугольнике $AML$ два угла равны $\alpha$, значит, $MA=ML$, а третий угол равен $\angle AML=180^{\circ}-2\alpha$.

Шаг 3. Угол $ALB$ прямой. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $MA=MB$. Вместе с шагом 2 получаем $ML=MA=MB$: в треугольнике $ALB$ медиана $LM$ равна половине стороны $AB$. Такое бывает только в прямоугольном треугольнике, значит, $\angle ALB=90^{\circ}$.

Шаг 4. Треугольник $BLC$ равнобедренный. Так как $MN\parallel AC$ и $AC\perp BC$, то $MN\perp BC$. Прямая $MN$ проходит через середину $N$ отрезка $BC$ перпендикулярно ему — это серединный перпендикуляр. Точка $L$ лежит на нём, поэтому $LB=LC$.

Шаг 5. Углы треугольника $BLC$. В прямоугольном треугольнике $ALB$: $\angle ABL=90^{\circ}-\alpha$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle ABC=90^{\circ}-2\alpha$. Точка $L$ лежит на луче $MN$ за точкой $N$ (так как $ML=MA=\dfrac{AB}{2}$ больше, чем $MN=\dfrac{AC}{2}$), то есть по другую сторону от прямой $BC$, чем точка $A$. Поэтому луч $BC$ проходит между лучами $BA$ и $BL$:

$$\angle LBC=\angle ABL-\angle ABC=(90^{\circ}-\alpha)-(90^{\circ}-2\alpha)=\alpha.$$

Треугольник $BLC$ равнобедренный ($LB=LC$), значит, $\angle LCB=\angle LBC=\alpha$, а третий угол $\angle BLC=180^{\circ}-2\alpha$.

Шаг 6. Подобие. У треугольника $AML$ углы $\alpha$, $180^{\circ}-2\alpha$, $\alpha$ при вершинах $A$, $M$, $L$. У треугольника $BLC$ углы $\alpha$, $180^{\circ}-2\alpha$, $\alpha$ при вершинах $B$, $L$, $C$. Углы соответственно равны, поэтому треугольники подобны: $\triangle AML\sim\triangle BLC$. Что и требовалось доказать.

б) Найдём отношение площадей при $\cos\angle BAC=\dfrac{7}{25}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Найдём коэффициент как отношение соответственных сторон $AM$ и $BL$ (они лежат против равных углов $\alpha$ при вершинах $L$ и $C$).

В прямоугольном треугольнике $\cos\angle BAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{7}{25}$. Отношение площадей не зависит от размера треугольника, поэтому можно взять $AC=7$, $AB=25$. Тогда

$$BC=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24.$$

Считаем отрезки. $AM=\dfrac{AB}{2}=12{,}5$, и по шагу 2 $ML=12{,}5$. Средняя линия $MN=\dfrac{AC}{2}=3{,}5$. Точка $N$ лежит между $M$ и $L$, поэтому

$$NL=ML-MN=12{,}5-3{,}5=9.$$

В прямоугольном треугольнике $BNL$ (угол $N$ прямой по шагу 4) катеты $BN=\dfrac{BC}{2}=12$ и $NL=9$:

$$BL=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.$$

Коэффициент подобия: $\dfrac{AM}{BL}=\dfrac{12{,}5}{15}=\dfrac{5}{6}$. Отношение площадей:

$$\dfrac{S_{AML}}{S_{BLC}}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}=\dfrac{25}{36}.$$

Проверим себя, посчитав площади напрямую. В треугольнике $AML$ сторона $ML=12{,}5$ лежит на прямой $MN$, а расстояние от точки $A$ до этой прямой равно $NC=12$ (прямые $MN$ и $AC$ параллельны): $S_{AML}=\dfrac{1}{2}\cdot 12{,}5\cdot 12=75$. В треугольнике $BLC$ основание $BC=24$, высота $LN=9$: $S_{BLC}=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 9=108$. Отношение $\dfrac{75}{108}=\dfrac{25}{36}$ — совпало.

Типичная ошибка — записать в ответ сам коэффициент подобия $\dfrac{5}{6}$. Площади относятся как квадрат коэффициента.