Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00014453

а) Докажем, что $AB\parallel EH$.

Высота $CT$ перпендикулярна стороне $AB$. Если мы докажем, что и прямая $EH$ перпендикулярна $CT$, то прямые $AB$ и $EH$ окажутся параллельными как два перпендикуляра к одной прямой. Обозначим $\angle ABC=\beta$.

Шаг 1. Углы $AMH$ и $AKH$ прямые: $HM\perp AB$ и $HK\perp AC$ по условию. Значит, точки $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AH$, то есть четыре точки $A$, $M$, $H$, $K$ лежат на одной окружности.

Шаг 2. Вписанные углы $MKH$ и $MAH$ этой окружности опираются на одну дугу $MH$, поэтому равны. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (угол $H$ прямой, так как $AH$ — высота) угол при вершине $A$ равен $90^{\circ}-\beta$. Получаем

$$\angle MKH=\angle MAH=90^{\circ}-\beta.$$

Шаг 3. Угол $ECH$ — это угол $TCB$ прямоугольного треугольника $BTC$ (угол $T$ прямой), поэтому

$$\angle ECH=90^{\circ}-\beta.$$

Шаг 4. Точка $E$ лежит на отрезке $MK$, значит, $\angle EKH=\angle MKH$. Итак, $\angle EKH=\angle ECH=90^{\circ}-\beta$. Точки $K$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $EH$, и отрезок $EH$ виден из них под равными углами. Следовательно, точки $E$, $K$, $C$, $H$ лежат на одной окружности.

Шаг 5. Угол $HKC$ прямой ($HK\perp AC$), поэтому $HC$ — диаметр этой окружности. Угол $HEC$ опирается на тот же диаметр, значит, $\angle HEC=90^{\circ}$ и $EH\perp CT$.

Прямые $AB$ и $EH$ перпендикулярны одной прямой $CT$ и не совпадают (точка $H$ не лежит на $AB$), поэтому $AB\parallel EH$. Что и требовалось доказать.

б) Найдём $ME$ при $AB=5$, $AC=6$.

Отрезки $HM$ и $ET$ перпендикулярны $AB$, значит, $HM\parallel ET$. По пункту а $EH\parallel MT$. Поэтому $MTEH$ — параллелограмм с прямым углом при вершине $M$, то есть прямоугольник. Его диагонали равны:

$$ME=TH.$$

Найдём $TH$. В прямоугольных треугольниках $BTC$ и $BHA$ катеты, прилежащие к углу $B$, равны $BT=BC\cdot\cos\beta$ и $BH=AB\cdot\cos\beta$. Поэтому треугольники $BTH$ и $BCA$ подобны: угол $B$ у них общий, а заключающие его стороны пропорциональны с коэффициентом $\cos\beta$. Отсюда

$$TH=AC\cdot\cos\beta.$$

Треугольник равнобедренный, $AB=BC=5$, $AC=6$. По теореме косинусов

$$6^{2}=5^{2}+5^{2}-2\cdot 5\cdot 5\cdot\cos\beta\ \Rightarrow\ 36=50-50\cos\beta\ \Rightarrow\ \cos\beta=\dfrac{14}{50}=\dfrac{7}{25}.$$

Тогда

$$ME=TH=6\cdot\dfrac{7}{25}=\dfrac{42}{25}.$$

Проверим себя прикидкой: отрезок $TH$ параллелен основанию и лежит ближе к вершине $B$, поэтому он короче $AC=6$. Получилось $\dfrac{42}{25}=1{,}68$ — так и есть.

Заметь: в пункте а равенство боковых сторон не понадобилось. Оно нужно только в вычислениях пункта б — без него по двум данным сторонам нельзя найти угол $B$.